0104

105

S 2. Granica funkcji

Ten sam fakt można omówić inaczej: jeżeli weźmiemy ciąg

{(«+*)*}    (ii-1,2,...)

wartości x„-> + oo, to odpowiadający mu ciąg wartości funkcji

sin(«+ł)ji=(—1)" (n=l, 2, ...)

w ogóle nie ma granicy.

Jeżeli przypomnimy sobie wahania sinusoidy, to brak granicy w rozważanym przypadku jest oczywisty

Podobnie funkcja sin — nie ma granicy, gdy a dąży do 0 lewostronnie lub prawostronnie. Jest a

to w istocie odmiana przytoczonego tu przykładu: wystarcza w funkcji sin x podstawić x = l[x. Oczywiste jest, że jeżeli a, jest ciągiem argumentów dążącym do 0 prawostronnie (lewostronnie), to x_n= = 1/(*„-►+ oo (—oo) i odwrotnie.    j

Zastąpmy znowu w wyrażeniu sin — literę « literę x (żeby powrócić do zwykłego oznaczenia

a

odciętej) i rozważmy interesujący wykres funkcji

v=sin —    (jc^O),

x

ograniczając się do wartości x od 0 do 2/n (i od —2/n do 0).

Weźmy kolejno malejące do 0 wartości x:

2 12 12 12 —, —, —, — > — « — * —• n n 3n 2n Sn 3n 7n

2 1 2 (2n—l)n’ nn’ (2n+l)n*

argumentom tym odpowiadąją dążące do +oo wartości l/x:

n	3n	5 71	* frc
—- , 71,	—, 2n,		3n, —
2	2	T ’	2

nn,

(2n—l)n 2

(2n+l)n

W przedziałach pomiędzy wskazanymi wartościami (gdy x maleje) rozważana funkcja kolejno maleje od 1 do 0 i od 0 do —1, a następnie rośnie od —1 do 0 i od 0 do 1, itd.

Tak więc funkcja sin — wykonuje nieskończenie wiele wahań, podobnie jak funkcja sin x, ale x

gdy wahania ostatniej funkcji przebiegąją w przedziale nieskończonym, to wahania pierwszej funkcji mieszczą się wszystkie w skończonym przedziale, zagęszcząjąc się wokół 0.