0125

126

II. Funkcje jednej zmiennej

skąd

|sinx — sin x₀|<|x —x₀|, dla dowolnych wartości x i x₀.

Przy danym dowolnym e>0 przyjmijmy <5=e; przy x—x₀[ <<5 mamy

(2)    |sinx —sinx₀|<£,

co już dowodzi ciągłości sin x. Analogicznie ustalamy także ciągłość funkcji cos x również przy dowolnym x.

Stąd, na podstawie twierdzenia z poprzedniego ustępu, wynika już ciągłość funkcji

sin x    1    cosx    1

tgx =-,    secx =-, ctgx =-,    cosec x =-

cosx    cosx    sin x    sinx

z wyłączeniem dla pierwszych dwóch funkcji wartości postaci (2k+l) Jju, przy których cosx=0, a dla drugich dwóch funkcji argumentów kn, przy których sinx=0.

69. Ciągłość jednostronna. Klasyfikacja nieciągłości. Powyżej za pomocą równości (1) określiliśmy pojęcie ciągłości funkcji /(x) w punkcie x₀. Obliczając granicę (1) mogliśmy przy tym przybliżać x do x₀ z prawa i z lewa. Wprowadzimy teraz pojęcie jednostronnej ciągłości i jednostronnej nieciągłości funkcji w danym punkcie.

Mówimy, że funkcja /(x) jest ciągła w punkcie x₀ prawostronnie (lewostronnie), jeżeli spełniony jest związek

(3)    /(x_o+0)= Hm f(x) —/(x₀) (/(x₀ —0)= lim /(x)=/(x₀)).

*->xo + 0    x->xo~0

Jeżeli jeden z tych związków nie jest spełniony, to funkcja /(x) ma w punkcie x₀ nieciągłość, odpowiednio prawostronną lub lewostronną.

Jeśli chodzi o lewy (prawy) koniec przedziału SC (*), w którym funkcja jest określona, to może chodzić tylko o ciągłość lub nieciągłość prawostronną (lewostronną). Jeżeli zaś x₀ jest wewnętrznym punktem przedziału SC, tj. nie jest żadnym z końców przedziału, to dla spełnienia związku (1), wyrażającego ciągłość funkcji w punkcie x₀ w zwykłym sensie, potrzeba i wystarcza, żeby były spełnione obydwa związki (3) [52]. Innymi słowami, ciągłość funkcji w punkcie x₀ jest równoważna jej równoczesnej ciągłości lewostronnej i prawostronnej w tym punkcie.

Zatrzymajmy się dokładniej nad zagadnieniem ciągłości i nieciągłości funkcji /(x) w punkcie x₀, np. prawostronnej. Zakładając, że funkcja /(x) w pewnym przedziale <x₀,x₀+A> (h>0) jest określona na prawo od tego punktu, widzimy, że dla ciągłości prawostronnej potrzeba i wystarcza: po pierwsze, żeby istniała granica skończona /(x_o+0) funkcji/(x) przy x dążącym prawostronnie do x₀, a po drugie, żeby granica ta była równa wartości /(x₀) funkcji w punkcie x₀.

(') Zakładając, że koniec ten jest liczbą skończoną.