012

12

Zdarzenie niemożliwe i przeciwne

Zdarzenie

pewne

1. Zdarzenia i prawdopodobieństwo

Zdarzenie 0 nazywamy zdarzeniem niemożliwym, a A = Ś1 \ A nazywamy zdarzeniem przeciwnym do A. Rodzinę SA nazywamy O-algebrą zdarzeń.

Uwaga. W ustalonej przestrzeni Q zdarzeń elementarnych, rodzinę zdarzeń SA można wprowadzić na wiele sposobów.

Fakt 1.1.1.

Jeżeli O. jest przestrzenią zdarzeń elementarnych, a SA jest a-algebrą zdarzeń w tej przestrzeni, to O. & SA.

Dowód. Ponieważ 0 € .9' oraz Q = 0, to z (ii) wynika, że Q e SA.    □

Zdarzenie O. nazywamy zdarzeniem pewnym.

Występująca w definicji suma może być skończona lub nieskończona. Stosuje się często skrótowy zapis, podobny do zapisu sumy liczb:

n

{jA_i=A_lSA₂U---UA_n,

i= 1

Ua,.=a₁ua₂u... .

i= 1

Podobnie jak dla sumy, stosuje się dla iloczynu zbiorów następujące zapisy:

n

/= 1 oo

p)A.=A₁OA₂n... .

;=i

Często, gdy zbiór indeksów jest ustalony lub jest dowolny, stosuje się jeszcze krótszy zapis:    oraz P|.

i    i

Bezpośrednio z definicji wynikają dalsze własności cr-algebry zdarzeń.

Fakt 1.1.2.

Jeżeli {Aj jest dowolnym ciągiem zdarzeń, tzn. A_i S SA dla każdego i, to również A = P|A_; jest zdarzeniem, tzn. Aę^SA.

i

Dowód. Powyższą równość otrzymuje się z prawa de Morgana oraz z własności (ii) i (iii). Ponieważ

A=(m)=iK.

oraz A, S SA, więc również A = (A) £ SA.    □