012

12

1. Zdarzenia i prawdopodobieństwo

1.2. Prawdopodobieństwo

Przykłady

Przykład 1.2.1.

Niech D. = [0,1] oraz niech ćZ będzie pewną G-algebrą podzbiorów odcinka [0, 1], Udowodnić, że funkcja

1 gdy \eA, 0 gdy I i A,

określona na zbiorach A G ćZ spełnia aksjomaty prawdopodobieństwa.

Rozwiązanie.

(i)    Aksjomat 0 P{A) ^ 1 jest spełniony, bo funkcja zbioru P(A) przybiera tylko dwie wartości: 0 lub 1.

(ii)    Drugi aksjomat P{£i) = 1 jest spełniony, ponieważ 1/2 <G £2.

(iii)    Jeżeli A, ,A₂,... są rozłączne, to liczba 1 /2 należy tylko do jednego z nich. Zatem

z definicji funkcji P(A) otrzymujemy    = 1- Z drugiej strony JfjPiAj) = 1,

bo tylko jeden składnik tej sumy jest równy 1, a pozostałe są równe 0. Stąd

Przykład 1.2.2.

W partii n detali jest m standardowych. Losowo wybrano (bez zwracania) k detali. Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że wśród wybranych detali znajduje się l standardowych, l < m.

Rozwiązanie.

Liczba wszystkich możliwych równoprawdopodobnyeh zdarzeń jest równa liczbie kombinacji z n elementów po k, czyli (]]). Zdarzeniami sprzyjającymi są zdarzenia takie, że wśród k wylosowanych detali jest 1 standardowych i k — l niestandardowych. Z m standardowych można wybrać / standardowych na ("') sposobów, przy czym pozostałych k — / niestandardowych można wybrać z n — m niestandardowych na ('//'[') sposobów. Liczba zdarzeń sprzyjających jest więc równa ('/) ('//"').

Niech będzie zdarzeniem polegającym na tym, że wśród k wylosowanych detali jest l standardowych. Z klasycznej definicji prawdopodobieństwa otrzymujemy

Przykład 1.2.3.

Losowo rozmieszczono n kul w n komórkach. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dokładnie jedna komórka jest pusta ?