0131

0131



132


II. Funkcje jednej zmiennej

Jeżeli np. funkcję potęgową x“ (x>0) przedstawimy w postaci funkcji złożonej:

x'W,B*ł

która jest superpozycją funkcji logarytmicznej i potęgowej, to z ciągłości ostatnich dwóch funkcji wynika już ciągłość funkcji potęgowej.

74. Rozwiązanie pewnego równania funkcyjnego. Dla ułatwienia wykładu w następnym ustępie, zajmiemy się teraz następującym zadaniem (które jest również ciekawe samo w sobie):

Znaleźć wszystkie funkcje f (x) ciągłe w przedziale ( — oo, +oo) spełniające warunek

(A)    f(x+y)=f(x)+f(y),

dla dowolnych x i y.

Równanie (A) jest najprostszym przykładem tzw. równań funkcyjnych, formułujących pewną własność funkcji szukanej, pozwalającą znaleźć tę funkcję. Nasze zadanie polega na znalezieniu wszystkich ciągłych rozwiązań równania (A).

Łatwo zauważyć, że funkcje liniowe jednorodne, postaci

(a)    f{x)=cx (c=const),

spełniają to równanie:

c{x+y)=cx+cy.

Zagadnienie polega właśnie na stwierdzeniu, że są to jedyne funkcje ciągłe o własności (A).

Aby ustalić, że jest tak rzeczywiście, załóżmy, że pewna funkcja ciągła /(x) spełnia równanie (A) i pokażemy, że musi ona wtedy mieć postać (a).

Przede wszystkim, metodą indukcji matematycznej łatwo uogólnić związek (A) na przypadek dowolnej liczby n zmiennych:

n

4)    f(x+y+...+z)=f(x)+f(y)+...+/(z).

Rzeczywiście, jeżeli założymy słuszność tego związku dla ustalonej liczby n>2 składników, to okazuje się on prawdziwy i dla n+1 składników:

n    n

f(x+y + ... + z + u)=f(x+y+...+z)+f(u)=[f(x)+f(y) + ...+f(z)]+f(u).

Podstawiając w (4) x-y=... = z, znajdujemy:

(5)    f(nx) = nf(x).

1

Zastępując tu nx przez —x, otrzymujemy n

a następnie, podstawiając mx (m — naturalne) zamiast x, i korzystąjąc z poprzedniej równości, znajdujemy

(6)    /(— *!=-/(*)

Podstawmy teraz w podstawowym równaniu (A) x=y=0; otrzymujemy (7)    /(O)=2/(0),    czyli /(0)=0.

Biorąc y=~x, i uwzględniając (7), znajdujemy:

/(-*)=-/(*),


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
132 II. Funkcje jednej zmiennej Jeżeli np. funkcję potęgową (x>0) przedstawimy w postaci funkcji
Dziawgo; Pochodna funkcji jednej zmiennej 3 132 Pochodna funkcji jednej zmiennej Rozwiązanie: Wykorz
120 II. Funkcje jednej zmiennej Przy jednokrotnym przykładaniu listewki błąd bezwzględny równa się
128 II. Funkcje jednej zmiennej punkt jc=0 jest punktem nieciągłości drugiego rodzaju — z obu stron;
88 II. Funkcje jednej zmiennej gdzie a — jak poprzednio jest liczbą dodatnią (różną od jedności); x
112 II. Funkcje jednej zmiennej To kończy dowód naszego twierdzenia, należy bowiem tylko przy a skoń
118 II. Funkcje jednej zmiennej Udowodniona własność nieskończenie małych prowadzi do jej wykorzysta
122 II. Funkcje jednej zmiennej Rozważając jednocześnie kilka nieskończenie dużych wielkości, jedną
140 II. Funkcje jednej zmiennej 78. Wyrażenia oznaczone i nieoznaczone w postaci potęgi. Rozważymy t
144 II. Funkcje jednej zmiennej Lemat ten wynika z twierdzenia 2° z ustępu 55, I, przy czym w danym
148 II. Funkcje jednej zmiennej Przytoczony przykład jest interesujący, jako związany z jednym z zag

więcej podobnych podstron