0131

132

II. Funkcje jednej zmiennej

Jeżeli np. funkcję potęgową x“ (x>0) przedstawimy w postaci funkcji złożonej:

x'W^,B*_ł

która jest superpozycją funkcji logarytmicznej i potęgowej, to z ciągłości ostatnich dwóch funkcji wynika już ciągłość funkcji potęgowej.

74. Rozwiązanie pewnego równania funkcyjnego. Dla ułatwienia wykładu w następnym ustępie, zajmiemy się teraz następującym zadaniem (które jest również ciekawe samo w sobie):

Znaleźć wszystkie funkcje f (x) ciągłe w przedziale ( — oo, +oo) spełniające warunek

^(A)    f(x+y)=f(x)+f(y),

dla dowolnych x i y.

Równanie (A) jest najprostszym przykładem tzw. równań funkcyjnych, formułujących pewną własność funkcji szukanej, pozwalającą znaleźć tę funkcję. Nasze zadanie polega na znalezieniu wszystkich ciągłych rozwiązań równania (A).

Łatwo zauważyć, że funkcje liniowe jednorodne, postaci

(a)    f{x)=cx (c=const),

spełniają to równanie:

c{x+y)=cx+cy.

Zagadnienie polega właśnie na stwierdzeniu, że są to jedyne funkcje ciągłe o własności (A).

Aby ustalić, że jest tak rzeczywiście, załóżmy, że pewna funkcja ciągła /(x) spełnia równanie (A) i pokażemy, że musi ona wtedy mieć postać (a).

Przede wszystkim, metodą indukcji matematycznej łatwo uogólnić związek (A) na przypadek dowolnej liczby n zmiennych:

n

4)    f(x+y+...+z)=f(x)+f(y)+...+/(z).

Rzeczywiście, jeżeli założymy słuszność tego związku dla ustalonej liczby n>2 składników, to okazuje się on prawdziwy i dla n+1 składników:

n    n

f(x+y + ... + z + u)=f(x+y+...+z)+f(u)=[f(x)+f(y) + ...+f(z)]+f(u).

Podstawiając w (4) x-y=... = z, znajdujemy:

(5)    f(nx) = nf(x).

1

Zastępując tu nx przez —x, otrzymujemy n

a następnie, podstawiając mx (m — naturalne) zamiast x, i korzystąjąc z poprzedniej równości, znajdujemy

(6)    /(— *!=-/(*)

Podstawmy teraz w podstawowym równaniu (A) x=y=0; otrzymujemy (7)    /(O)=2/(0),    czyli /(0)=0.

Biorąc y=~x, i uwzględniając (7), znajdujemy:

/(-*)=-/(*),