0137

138

II. Funkcje jednej zmiennej

,    ,    ,    «1 fl2 + --+Bl-I Ol

(fli +... +a*)H---1- ...

przedstawiamy rozważane wyrażenie kolejno w postaci (x+a₁)...(x+a_k)-x^k

+...+1

(;/(ⁱ⁺t) ~h))‘

Przy x~* + oo wyrażenie podpierwiastkowe dąży do 1, a więc i pierwiastek ma granicę \/\ = \ ze względu na ciągłość pierwiastka, jako szczególnego przypadku funkcji potęgowej. Ponieważ wielomian (k—l)-szego stopnia (od pierwiastka) występujący w mianowniku także jest funkcją ciągłą, więc mianownik dąży do k, a granicą całego ułamka jest

u 14* 02 -ł- •. • + Ok k

3) Powróćmy do tezy z ustępu 33,13). Niech będzie a„>0 i a„->a. Załóżmy na razie, że 0<a< + oo i zastosujmy wspomnianą tezę do ciągu {ln a„}.

Ponieważ ln a„->ln a (na mocy ciągłości funkcji logarytmicznej), więc

..    .    «/- .. lna, + ...+lnfl„

lim ln -v/ai...a_B = lim-=ln a.

n

W takim razie ze względu na ciągłość funkcji wykładniczej mamy

ya₁...a„=e¹“ V "->e    = a.

Za pomocą granic 1) i 2) z ustępu 54 wynik ten przenosi się i na przypadek a=0 oraz a= +oo.

Tak więc, otrzymujemy następującą modyfikację wspomnianej tezy:

Jeżeli ciąg o wyrazach dodatnich a_n ma granicę (skończoną lub nie), to tę samą granicę ma również

ciąg    ___

b„ — a_k a 2 • • • o„.

4) Stosując tę tezę do ciągu

Qz <?3    &n    0„+i

^fll> “» —'♦ •**»    --y --~t -“y

01 U 2    O-n-l

otrzymujemy interesujący wniosek:

a„

lim -I/a„ = lim    ₍

przy założeniu, że istnieje druga z tych granic. Znajdźmy dla przykładu granicę

..

lim-•

n

Podstawiając a„ =«!/«“, otrzymujemy

q»+1    («+ 1)1

77" ^_(n + 1)"

K)' *'

5) Ustalimy kilka ważnych granic, które będą przydatne w następnym rozdziale:

(a)

log„(l+a)    /O

^-^l08*^e (o I-