0145

146

II. Funkcje jednej zmiennej

Na pewno istnieją wartości funkcji yi=f(x_l)iy₂=f(x₂), (*i i x₂ wzięte z przedziału SC) takie, że

m^y₁<y₀<y₂^M;

wynika to z samej definicji kresów zbioru liczbowego. Ale wówczas w myśl udowodnionego twierdzenia istnieje pomiędzy X! i x₂ taka wartość x=x₀ (należąca do SC oczywiście również), że / (x₀) równa się dokładnie y_Q; wynika stąd, że liczba ta należy do zbioru ^l&.

Tak więc, jest przedziałem o końcach m i M (które mogą należeć do tego przedziału lub nie — zależnie od sytuacji; por. 84.)

Widzieliśmy w ustępie 71, 2°, że w przypadku funkcji monofonicznej wspomniana własność pociąga za sobą ciągłość. Jednakże nie należy sądzić, że tak jest zawsze; łatwo zbudować funkcje nieciągłe, które również mają tę własność. Na przykład wartości funkcji [70, 4)]:

f(x) = sin —    (x#0),    /(0)=0,

x

gdy x zmienia się w dowolnym przedziale zawierającym punkt nieciągłości x=0, wypełniają cały przedział < — 1, +1 >.

83. Istnienie funkcji odwrotnej. Zastosujemy zbadane w poprzednim punkcie własności funkcji ciągłej do ustalenia, przy jakich założeniach istnieje jednoznaczna i ciągła funkcja odwrotna [por. 49].

Twierdzenie. Niech funkcja y=f(x) będzie określona, ściśle rosnąca (malejąca) i ciągła w pewnym przedziale SC. Wówczas w odpowiednim przedziale wartości tej funkcji istnieje jednoznaczna funkcja odwrotna x=g(y), także monofonicznie rosnąca (malejąca) i ciągła.

Dowód. Ograniczymy się do przypadku funkcji rosnącej. Widzieliśmy wyżej, że wartości funkcji ciągłej /(x) wypełniają całkowicie pewien przedział tak że dla każdego y₀ z tego przedziału znajdziemy choć jedną taką wartość x₀ (z SC), że

f(x₀)=y_Q.

Na mocy monotoniczności funkcji taka wartość może być tylko jedna: jeżeli x_t > x₀ lub x₁<x₀, to odpowiednio if(x₁)>f(x₀), \ubf(x_l)<f(x₀).

Przyporządkowując tę właśnie wartość x₀ dowolnie obranemu y₀ z W, otrzymujemy funkcję jednoznaczną

x=g(y)

odwrotną do funkcji y =/(x).

Łatwo zauważyć, że funkcja g(y) jest, podobnie jak funkcja f(x), funkcją rosnącą. Niech

y'<y" i x=g{y'),    x" = g{y")\

wówczas, według samej definicji funkcji g(y), mamy jednocześnie

y' =/(x') i y" =f(x").