0220

§ 5. Wzór Taylora

221

a więc

e‘^,n1 = l+(jc-ixV7¹²+^:³+<Kx³).

Wyraz zawierający x³ redukuje się i ostatecznie otrzymujemy

e’¹"¹ = l+x+^x² +o(x³).

Analogicznie

e“¹=l +x+±x²+±x³+o(x³).

9) Napisać rozwinięcie funkcji ln cos x do wyrazu z x⁶. Zgodnie z 5):

Incosx=ln [1 +(cosat —l)]=(cosjr —1.)—i(cosA: —l)³+i(cos^ —1)³+o(a;⁶) ('). Przy tym na mocy 3):

cos x -1 = - jX² + ^x¹ -    + o(x⁷);

stąd

lub po redukcji

Analogicznie

lncosx = (-ijc² + ~x¹ - ~x⁶)- j ^x¹-^_ix⁶)+±(-±x⁽‘)+o(x⁶)

ln cos x— — jx² — YiX¹—^x⁶ +o (jr⁶). ln(x+Vl +x²)=x—jx³ +^¹⁵ +o (x^s),

ln

sin¹

~=-_Tx -₇

¹ 6 , , 6_S iss¹ +»U )•

Wszystkie te rozwinięcia otrzymane bez bezpośredniego wykorzystania wzoru Taylora można oczywiście otrzymać również z tego wzoru, przy czym z dokładnie tymi samymi współczynnikami, co wynika z udowodnionej wyżej jednoznaczności rozwinięcia funkcji.

Uwaga. Ponieważ rozpatrywane tu funkcje miały w otoczeniu punktu x=0 pochodne wszystkich rzędów, nic nie ograniczało nas w wyborze liczby n we wzorze (11), tzn. mogliśmy kontynuować rozwinięcie tych funkcji do dowolnej potęgi włącznie.

126. Inne postacie reszty. Wzór Taylora z resztą Peana ma liczne zastosowania (patrz następny rozdział); wszystkie one jednak mają charakter, można by powiedzieć, lokalny, tj. odnoszą się do samego punktu x„. Jeśli w tych zastosowaniach mówimy niekiedy

0    innych wartościach x, to o wartościach tych zakładamy, że są one dostatecznie bliskie x₀

1    nie mogą być wzięte z góry w sposób dowolny.

Tymczasem byłoby rzeczą naturalną spróbować wykorzystać wielomian p(x) jako przybliżenie funkcji /(;c), z którego można by ją obliczyć z żądaną dokładnością.

Na to, by wielomian p(x) mógł spełnić tę rolę, musimy mieć możliwość oszacowania reszty (7) dla danego x. W tym wypadku reszta w postaci Peana, charakteryzująca tylko dążenie r(x) do zera, gdy ¹-»0, nie może być przydatna. Nie daje ona możliwości ustalenia, dla jakich wartości x wielomian p(x) reprodukuje funkcję f(x) ze z góry daną dokładnością.

1

Ponieważ 1—cos x jest tego samego rzędu co x² [61], więc o((cos x— l)³) jest także o(x⁶).