023

23

1.3. Prawdopodobieństwo warunkowe

Fakt 1.3.1.

(1.3.2)

Pr(An5) = Pr(A|£)Pr(£),

dla Pr(B) > 0.

Własność wyrażona wzorem (1.3.2) jest bardzo użyteczna w sytuacji, gdy prawdopodobieństwa warunkowe są znane w sposób naturalny, a nieznane są prawdopodobieństwa iloczynów zdarzeń. Można również pokazać ogólniejszą wersję faktu 1.3.1.

Fakt 1.3.2.

Prawdopodo

bieństwo

iloczynu

zdarzeń

Jeśli Pr(A₁ Pi * * ■ flA^j) > 0, to

Pr(A₁nA₂n--nA_rt)

= Pr(A₁)Pr(A₂|A₁)Pr(A₃|A₁nA₂)...Pr(A_fl|A₁n--*nA_n_₁). (1.3.3)

Przykład. W ciemnym pokoju są dwie urny: duża, do której trafiamy z prawdopodobieństwem 3/4 i mała, do której trafiamy z prawdopodobieństwem 1/4. W małej urnie są 2 czarne i 1 biała kula, a w dużej 2 białe i 1 czarna kula. Jakie jest prawdopodobieństwo, że trafimy na dużą urnę i równocześnie wyciągnięta z niej kula będzie biała?

Niech A będzie zdarzeniem polegającym na trafieniu do dużej urny, B zdarzeniem polegającym na wylosowaniu kuli białej. Jest jasne, że Pr(Z?|A) — 2/3, a ponieważ Pr (A) — 3/4, to zgodnie ze wzorem (1.3.2) otrzymujemy

2    3_^

3    *4 ” 2'

Prawdopodobieństwo warunkowe ma wszystkie własności „zwykłego” prawdopodobieństwa, tzn. zachodzi następujące twierdzenie.

Twierdzenie 1.3.1.

Porównaj z definicją na sir. 13

Dla dowolnej przestrzeni probabilistycznej (f2,J^,Pr) i ustalonego zdarzenia    takiego, że Pr (B) > 0, prawdopodobieństwo warunkowe Pr⁵() =

Pr(*|2?) spełnia postulaty Kołmogorowa (i) - (iii). Zatem    jest prze

strzenią probabilistyczną.

Oznacza to, że spełnione są warunki:

(i) dla każdego A    O^Pr^b(A) ś 1,

(ii)    Pr^fl(Q) = l,

(iii)    jeżeli dla dowolnych i ^ j jest A. HA - = 0, to

Intuicje dotyczące prawdopodobieństwa warunkowego zgodne są z następującym rezultatem.