0374

375

§ 5. Ekstrema, wartości największe i najmniejsze

A więc w dostatecznie małej kuli o środku w punkcie (x°_t, x%,..., x°„) różnica A jest dodatnia. Stąd wynika, że w punkcie tym funkcja f(x_l, x₂, ..., x„) ma minimum właściwe. Analogicznie przebiega dowód w przypadku, gdy forma (10) jest określona ujemnie.

199. Warunki nieistnienia ekstremów. Formę kwadratową (9) nazywamy nieokreśloną, jeżeli może ona przybierać wartości różnych znaków. Taka jest np. forma

6y\+y\+y\ + ^y₁y₂ = Syjya -2y₂y₃.

Istotnie, wartość jej jest np. równa +6 dla yi = l, y₂=y3=0, a —1 dla y_t = l, y₂ = — 1, J₃=0.

Możemy teraz uzupełnić udowodnione w poprzednim ustępie twierdzenie w sposób następujący:

Jeżeli forma kwadratowa (10) jest nieokreślona, to w badanym punkcie (x°, x₂, ..., x°) funkcja na pewno nie ma ekstremum.

Przypuśćmy, że dla Ax_i=h_i (/ = 1, 2.....ri) forma (10) przybiera wartość dodatnią

(13)    £ a_tkhih_k>0,

i, Jk — 1

a dla Ax_i=h* (z = 1, 2, ..., n) — ujemną

Z ^aikhfh*<0.

(,k=l

Weźmy najpierw

AXi=hit dla t^O    (i — 1,2, ...,n) ;

oznacza to przesuwanie punktu (x₂, x₂,..., x_n) wzdłuż prostej łączącej punkty (x1,x₂, ... ..., x°) i (x°_l+h_l, x°₂+h₂, ..., x°_n+h_n). Wynosząc teraz w (8) za nawias t², otrzymujemy w tym przypadku

ji    n

d=i*²{ Z ^ai*M* + £ <*_ikhih_k}.

i,k=l    l,k = l

Pierwsza suma w nawiasie jest wobec nierówności (13) pewną liczbą dodatnią. Współczynniki drugiej sumy dążą do 0, gdy t-y0, bo wówczas oczywiście wszystkie Ax_i->0. Znaczy to, że dla dostatecznie małych t wyrażenie w nawiasie i wraz z nim różnica A są dodatnie, czyli w punktach wspomnianej wyżej prostej, leżących dostatecznie blisko punktu (x°, x°₂, ..., x°„), jest

f(x_t ,x₂,...,x_n) >f(x° ,x%.....x°_n).

Z drugiej strony, jeśli wziąć

Ax,=hft dla tf= 0 (i = l,2, ...,n),

to znaczy jeżeli przesuwać się wzdłuż prostej łączącej punkt (z?, x\, ..., x°) z punktem (x\+h\, x\+h%, ..., x^+h*), to w punktach leżących dostatecznie blisko punktu