0382

383

§ 5. Ekstrema, wartości największe i najmniejsze

Teraz badać trzeba funkcję

K=£^/’‘⁼EV(*-^a<)^J+0'^-*‘)² •

Ma ona pochodne cząstkowe wszędzie poza danymi punktami M_lt M₂, M₃:

du

Tx

"I

x—a,

Pt

y-b i Pt

= — £ cos 0,, = - £ sin 0,,

gdzie 0, ozndcza kąt nachylenia wektora MM, do osi x.

„Podejrzanymi” o ekstrema punktami są tym samym przede wszystkim punkty M,, M₂, M₃, w których nie ma pochodnych i następnie ten punkt M₀ (widać, że on nie zawsze istnieje), w którym obie pochodne są równe 0. Ponieważ przy nieograniczonym wzrastaniu x lub y funkcja u oczywiście także nieograniczenie rośnie, to najmniejszą wartość musi ona mieć w jednym z wymienionych punktów.

Aby odnaleźć punkt stacjonarny M₀ przyrównajmy do zera obie pochodne cząstkowe. Daje to równania

cos 0j +cos 0₂ +eos 0₃ =0,    sin 0i +sin 0₂ +sin 0₃ =0 .

Pomnóżmy pierwsze przez sin0₂, drugie przez cos 0₂ i odejmijmy stronami. Otrzymamy (*)

Analogicznie znajdujemy

sin(0i—0₂)=sin(02 —03> ■ sin(0₂—03)=sin(0₃—0i).

Oznaczmy odpowiednio przez e>₁₍ co₂, (0₃ kąty M, M₀ M₂, M₂M₀M₃, M₃ M₀ M,, dające w sumie kąt pełny

©l+©2+C>3=2lI .

Łatwo zauważyć, że

sine>i=sin(0i— 0₂), sina>2=sin(0₂—0₃),    sinct)₃=sin(0₃—0i),

a zatem

sin ©i =sin co₂ =sm co₃

Stąd wynika, że

©1=©2=©3 ,

gdyby bowiem tak nie było, lecz na przykład o>₁=k—co₂, a więc (o₁+co₂=n, to byłoby co₃=n i wówczas musiałoby być albo ©i = n i co₂ = 0, albo co₁=0 i w₂=n,a to znaczyłoby, że punkty M_u M_It M₃ i M₀ leżą na jednej prostej, wbrew założeniu. A więc kąty między odcinkami M₀M_t,

M₀M₂, M_qM₃ wziętymi parami powinny być równe |rc, M₀ otrzymujemy w przecięciu się trzech łuków okręgów opartych o boki trójkąta M,M₂M₃ i będących miejscami geometrycznymi punktów, z których odpowiedni bok jest widoczny pod kątem

* 2

Jeżeli trójkąt ten nie ma kąta większego lub równego ₃tc, to luki te przecinają się rzeczywiście wewnątrz trójkąta i określają punkt M₀,'z którego boki trójkąta są widoczne pod kątami |n (rys. 109). W tym przypadku trzeba jeszcze porównać wartości, które u przybiera we wspomnianych czterech

(') Rozwinięcie zagadnienia podane przez tłumacza.