0386

387

§ 5. Ekstrema, wartości największe i najmniejsze

9) Metoda najmniejszych kwadratów. Tak się nazywa bardzo rozpowszechniona metoda opracowania danych obserwacji, której istota zawiera się w tym, co następuje.

Przypuśćmy, że trzeba określić wartość trzech (*) wielkości x, y, z, dla których ustalono n> 3 równań liniowych

a,x + b,y+c_tz=d, (i=l ,2,...,«),

przy czym niektóre ze współczynników a,, b_t, c_f, d_t są otrzymane z doświadczenia i znane są tylko w przybliżeniu. Przy tym zakładamy, że przynajmniej trzy z tych równań mają wyznacznik różny od zera, na przykład niech

*0.

(14)

ai bi Ci Oi bi Ci 03 Ó3 C3

Jednak wartości x, y, z obliczone z pierwszych trzech równań nie będą, ogólnie biorąc, ściśle spełniały pozostałych równań, bądź z powodu nieuniknionych błędów we współczynnikach równań, bądź też wskutek tego, że same równania są tylko przybliżone. Nie mając podstaw, aby wyróżniać niektóre równania z pozostałych i licząc się z tym, że błędy

ó,=aix+biy+c,z—d,

są nieuniknione przy każdym wyborze wartości x, y, z, staramy się osiągnąć tylko to, aby suma kwadratów tych błędów

W= £6f = £(a,x + .6, y+,c, zd_t)²

1 = 1 1=1

była możliwie mała (stąd nazwa metody). Innymi słowami za najbardziej zgodne z wynikami doświadczenia uważamy te wartości x, y, z, dla których funkcja W= W(x, y, z) ma najmniejszą wartość.

Zgodnie z ogólną regułą, aby znaleźć te wartości, przyrównujemy do zera pochodne W względem x, y i z:

2 £ a, (di x + b, y+c, z - dj)=0,

2Y_Jb,(a,x+b,y+c,z-d,)=0_>

1-1

2Y_lCt(a,x+biy+c,z—d,)’=0.

C. F. Gauss wprowadził specjalne oznaczenia dla sum składników tego samego typu różniących się tylko wskaźnikami. Mianowicie pisał on

fl A

[aa ] zamiast £ af , [ab ] zamiast Y a, b, itd.

Iii iii

W oznaczeniach Gaussa równania otrzymane dla określenia wartości x, y, z wyglądają następująco:

[aa]x+ [ab]y-\- [ac]z= [ad],

[ba]x+[bb]y+[bc]z=[bd],

[ca] x+[cb]y+[cc]z=[cd].

Nazywa się je równaniami normalnymi.

(‘) Ograniczymy się do trzech wielkości tylko dla uproszczenia wzorów.