0378

379

§ 5. Ekstrema, wartości największe i najmniejsze

Wewnątrz obszaru równania te spełnione są tylko w punkcie x=y=z=c, w którym u=c*. Ponieważ na brzegu obszaru i/=0, w znalezionym punkcie funkcja rzeczywiście osiąga największą wartość.

Twierdzenie nasze zostało zatem udowodnione, bo gdy x—y=z=c, również i t = c{¹).

W przypadku funkcji trzech zmiennych u=f{x, y, z) brzegiem obszaru jest na ogół powierzchnia lub pewna liczba powierzchni. Na takiej powierzchni zmienne x, y, z zależą od dwóch parametrów; parametrami mogą być dwie spośród tych zmiennych, jak np. w ostatnim przykładzie z = 4c—x—y. Wówczas funkcja u zależy tylko od dwóch parametrów, tak że znalezienie jej największej (najmniejszej) wartości na brzegu okazuje się prostszym zadaniem, o którym mówiliśmy przedtem.

Jeżeli funkcja u=f(x₁, x₂.....x„) dana jest w otwartym lub nieograniczonym obszarze 3>, to

już nie można z góry twierdzić, że osiąga ona w tym obszarze swoją największą (najmniejszą) wartość. Mimo to wartość taka w pewnych przypadkach może istnieć. Objaśnimy na przykładzie, jak można się o tym przekonać.

4) Znaleźć najmniejszą wartość sumy

u—x+y+z+t

dodatnich liczb x, y, z, t, których iloczyn ma stałą wartość

xyzt—c'.

Pokażemy, że najmniejszą wartość u otrzymuje się, gdy wszystkie składniki są równe, x—y=z = = t=c(²).

Wyznaczamy t i podstawiamy t = c*jxyz do u. Otrzymujemy

u=x+y+z-\--.

xyz

Mamy znaleźć najmniejszą wartość tej funkcji trzech zmiennych x, y, z w obszarze określonym nierównościami x>0, y> 0, z>0, tj. w pierwszym oktancie układu współrzędnych, a więc w obszarze otwartym i nieograniczonym.

Spróbujmy zastosować metodę poprzednią. Jeżeli w obszarze jest punkt wewnętrzny, w którym badana funkcja osiąga najmniejszą wartość, to punkt ten, tak jak poprzednio, musi należeć do punktów stacjonarnych. Jest

u',=1—j—=0,

x yz

uZ = 1 —

T-=0.

xy z

■1--2=0-

xyz

Stąd x=y=z=c; odpowiada temu t=c; wówczas u=4c.

Jak teraz sprawdzić, że wartość ta jest rzeczywiście najmniejsza?

Przy przybliżaniu się do płaszczyzn x=0, y = 0, z=0, ograniczających obszar, jak również przy oddalaniu do oo funkcja u rośnie oczywiście nieograniczenie. Znaleziony punkt można otoczyć sześcianem <e, E; e, E; e, E}, biorąc przy tym £>0 tak duże, ae>0 tak małe, żeby na zewnątrz tego sześcianu i na jego powierzchni było u>4c. Ale w sześcianie jako w domkniętym i ograniczonym obszarze funkcja u powinna mieć najmniejszą wartość. Jasne jest teraz, że wartość ta jest osiągana właśnie w znalezionym wyżej punkcie i że jest ona najmniejsza i dla całego początkowego obszaru, cbdo.

(^l) Z tego co powiedzieliśmy wynika, że iloczyn dodatnich liczb xyzt, których suma równa jest 4c, nie przekracza c*, a więc

*/- x+y + zĄ-t

V xyzt<,c =----

4

To zaś oznacza, że średnia geometryczna nie przekracza średniej arytmetycznej. Wynik ten, prawdziwy dla dowolnej ilości rozpatrywanych liczb, jest nam już znany [133, (4a)].

(^ł) Tutaj też liczba składników może być dowolna (porównaj odsyłacz na poprzedniej stronie).