0393

394

Jeżeli znowu przypomnimy sobie wzór na pochodną funkcji złożonej, to wyznacznik z lewej strony tej równości będziemy mogli napisać w następującej postaci:

dy i	dy i	dy i
dt2	dt2	" dtm
dy2	dy2	dy2
dh	8t2	dtm
dym	dym	dym
dt3	8t2	dtm

W skróconych oznaczeniach otrzymany wynik ma postać

(5)

VI. Wyznaczniki funkcyjne i ich zastosowania

dy i	dy i	dy i
8xii	dxh	" dxlm
dy2	dy2	dy2
8xh	dxi2	' dxim
dym	dym	dym
8xh	8xh	dx,m

dxh	dxtl	dxtl
dh	dt2	' dtM
dxh	dxh	dxh
dti	8t2	dtm
dxim	8x,	dxim
dh	8t2	' dtm

flpi.yz.....j¹ w) y flpi.yz.....y_m) .D(x_h,x_t2,

D (tl , t₂ > ••• > t_m) (ii,h i_m) D (Xj₁ , Xj₂ , ... , X(m)    , t₂>    , t_m)

sumowanie rozciąga się na wszystkie kombinacje z n wskaźników 1,2.....n po m.

Dla m=1 wyprowadzony wzór przechodzi w znany wzór na różniczkowanie funkcji złożonejy =f(x₁ (t), x₂(t), x„(tj)

dy = y ^{8y dXi} dt t 8x, dt

i tym samym jest jego uogólnieniem.

Zanotujemy jeszcze jeden przypadek szczególny naszego wzoru, który otrzymujemy, gdy n = 3 i m=2:

(6) WhlM=■ ^d(^xi>^x2) ,    . ^d(^x2,x₃)^ D(y_lty₂) P(x₃,x₁)

^D(h>h) D(x₁,x₂) D(t_l3t₂) D(x₂,x₃) D(t_l3t₂) D(x₃,x₁) D(t_l3t₂)‘

Wzór ten znajduje szczególnie często zastosowania.

Znaleźliśmy kilka formalnych własności jakobianów analogicznych do własności zwykłych pochodnych; do takich własności należy także wzór, który wyprowadzimy w jednym z najbliższych ustępów [210, 8)]. Ale bardziej głęboka analogia między pochodnymi i jakobianami ujawnia się w roli, jaką spełniają one w teorii funkcji uwikłanych (patrz następny paragraf), a zwłaszcza w zagadnieniu zamiany zmiennych w całkach podwójnych, potrójnych i ogólnie — wielokrotnych (tom HI).