063

63

4.1. Rozkłady statystyk

Rozwiązanie.

a)    Wiadomo, że —^ ^ma rozkład chi-kwadrat z n — 1 stopniami swobody, gdy próba

o¹

pochodzi z populacji N(m, er). Stąd

Pr (s² > 4.3) = Pr    j = Pr (zf₇ > 19.35) .

Korzystając z tablic rozkładu chi-kwadrat otrzymujemy Pr (S² > 4.3) « 0.30.

b)    Dla dużych n, tzn. dla n > 30, rozkład chi-kwadrat przybliżamy rozkładem normalnym N (n, \/2n). Ponieważ nS² = (n — 1 ).Ś², więc

Pr (s² < 3

•⁹) =

Pr

50Ś²    50-3.9

~4~ ^<    4

,2

.n., ^50-50

= Pr (*²0< 48.75) -50

$(-0.125) = 0.4483.

Można również skorzystać z faktu, że zmienna losowa y2^² ma rozkład asymptotycznie normalny N [\/2n— 1, l). Wówczas

Pr (ś² < 3.9) = Pr (*₅²0 < 48.75) = Pr (^2< s/2- 48.75)

= Pr(y2^|)-^2-50-1 < \/2 -48.75 — \/2 • 50 — 1)

« $(-0.0756) =0.4681.

To przybliżenie jest dokładniejsze od poprzedniego.

Przykład 4.1.3.

Niech Aj,X₂,... będzie próbą prostą z populacji o dystrybuancie F(x). Znaleźć dys-trybuantę statystyki T = max (Xj,... ,X_n) oraz jej gęstość, gdy rozkład populacji jest jednostajny na odcinku [a,b].

Rozwiązanie.

Niech G(t) = Pr (T < t). Wtedy

G(t) = Pr(max(Aj,.. .,X„) <t) = Pr (Aj <t,...,X_n <t) = Pr(Xj < t). ..Pr(X„ < t) — (F(t))ⁿ .

Gdy

0

no =

t — a b — a 1

dla t ^ a, dla a <t b, dla t > b,