068

68

3. Twierdzenia graniczne

Asymptotyczną normalność można zdefiniować ogólniej. Niech (Y_n) będzie ciągiem zmiennych losowych, n = 1,2,... o skończonej wariancji oraz niech

F_n(x)= Pr

Y_n-Wn

< X

Ciąg (y_n) jest asymptotycznie normalny, gdy lim^coF^jc) = 4>(jc), gdzie <£(*) jest dystrybuantą rozkładu normalnego N(0,1). Zamiast mówić „ciąg rozkładów jest asymptotycznie normalny”, mówi się że rozkład F_rt(jt) (zależny od parametru n) jest asymptotycznie normalny. Przy wykorzystaniu asymptotycznej normalności wynikającej z twierdzenia 3.2.1 do przybliżania rozkładów sum zmiennych losowych przez rozkład normalny, warto wiedzieć, jaką dokładność ma takie przybliżenie. Pomóc w tym może poniższy wynik.

Twierdzenie 3.2.3. (Berry’ego-Esseena)

Jeśli X_{ ,X₂,... są niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie skończonym trzecim momencie, tzn. El^j³ < to

sup

reR

(3.2.4)

gdzie 1 /y2n ^ C < 0.8.

Asymptotyczna normalność X¹

Jak już wspomniano w punkcie 2.4.4 (str. 53), rozkłady chi-kwadrat i t-Studenta są asymptotycznie normalne. Własność ta dla rozkładu chi-kwadrat o n stopniach swobody wynika z twierdzenia 3.2.1, ponieważ Ex² — ńEX² = n oraz D²%² = ńD²Xf = 2n (patrz zadanie 2.5.3). przy czym ten rozkład normalny ma parametry n i \/2n, (wzór (3.2.5)) Asymptotyczną normalność rozkładu chi-kwadrat można określić też przez zdefiniowanie zmiennej y/2x², która ma rozkład asymptotycznie normalny    — 1, 1). Rozkład r-Studenta o n

stopniach swobody jest asymptotycznie normalny N(0,1). Oznacza to, że

lim Pr

n—hx>

(3.2.5)

(3.2.6)

(3.2.7)

lim Pr f d2Xn — y/2n - 1 < x

\ V

lim Pr (t_n < *) =,

n—

gdzie Xn ^ma rozkład chi-kwadrat o n stopniach swobody, a t_n ma rozkład t-Studenta o n stopniach swobody. Wzory (3.2.6) i (3.2.7) nie wynikają jednak bezpośrednio z twierdzenia 3.2.1.