116

116

Odpowiedzi i wskazówki

logarytmowania zera zostawiamy 1—7? zamiast 7?, mimo że teoretycznie 7? i 1—7? mają taki sam rozkład jednostajny na odcinku [0,1].

2.4.3.

	Pr(X < 0.5)	Pr(X > — 1)	Pr(1.5 <X ^ 3)
N(l, 1)	0.3085	0.9772	0.2858
N(—1,0.5)	0.9986	0.5000	0.0000
N(1.5,l)	0.1587	0.9938	0.4332
N(1.5,0.1)	0.0000	1.0000	0.5000

2.4.4. Dla N(0,1): £₀₉ = 1.28, £₀₉₅ = 1.64, dla N(—0.5,2): |₀₉ = 2.06, |₀₉₅ = 2.78.

2.4.5. Reguła n-sigmowa: wystarczy n — 4. Reguła „2-sigmowa”: „bardzo mały” to mniejszy od 0.05.

2.4.6.    Dla tego rozkładu EX = 0, a = >/2/X, skąd Pr(|X| > 3V2/X) = e~^3V5 < 0.02.

2.4.7.    Wskazówka. Podstawić u — x — 1 i zmienić granice całkowania przy obliczaniu fc-tego momentu.

(b — a

2.4.8.    Dla k parzystych c_k = ^k ₊ { ' .

2.4.9.    Rozkład o gęstości f(x) = ie^-^W.

2.4.10.    Dystrybuanta i gęstość zmiennej losowej Y są równe odpowiednio

2.4.11.    Wskazówka. Najpierw obliczyć przez części całkę

>oo

xxe~^^²dx.

2.4.12.    EX³ = 0, EX⁴ = 3.

2.4.13.    Procedura normO 1.

QC(j

2.4.14.    EX^k istnieją tylko dla k<a, EX^k = -—a ± 1,

⁼ (a-V)Ha-2) > ^a ^ ¹ ’ “ ^ 2.

2.5.1.    <jp(r)=i(e'''-l).

2.5.2.    Wskazówka. Jeśli X ma rozkład jednostajny na [0,1], a Y jednostajny na [a,b], to Y = (b -a)X + a, a <p_r(f) = e^ltaę_x((b — a)t).

2.5.3.    Wskazówka. Obliczyć pierwsze cztery pochodne ę(t) — e~^/ /².

2.5.4.    Wskazówka. Podstawić w całce v — bx.

2.5.5.    Obliczyć dwie pierwsze pochodne funkcji charakterystycznej rozkładu gamma.

2.5.6.    Wskazówka. Skorzystać z twierdzenia 2.5.2.