078

78

5. Estymacja

0.9 odczytujemy z tablic wartości c_i = 3.3251 i c₂ = 16.9190. Otrzymujemy zatem następujący przedział ufności dla wariancji er² stratności

10 0.0022 ₂ 10-0.0022

-< a <-,

16.9190    3.3251    ’

czyli 0.0013 < a² < 0.0066.

Chcąc otrzymać przedział ufności dla odchylenia standardowego <7, pierwiastkujemy końce powyższego przedziału otrzymując 0.036 < (7 < 0.081.

Przykład 5.2.2.

W zakładzie X zbadano 500 urządzeń spośród nowo wyprodukowanej partii i otrzymano następujący rozkład liczby usterek:

Liczba usterek	0	1	2	3	4	5	6
Liczba urządzeń	112	168	119	63	28	9	1

a)    Wyznaczyć na poziomie ufności 0.95 przedział ufności dla przeciętnej liczby usterek w produkowanych urządzeniach w zakładzie X.

b)    Wyznaczyć przedział ufności na poziomie ufności 0.99 dla odchylenia standardowego usterek.

Rozwiązanie.

Ponieważ w rozwiązaniach będziemy korzystać z centralnego twierdzenia granicznego, to trzeba założyć, że istnieje skończona wariancja zmiennej losowej o nieznanym rozkładzie, będącej liczbą usterek w każdym z produkowanych urządzeń. Liczba obserwacji, n = 500 jest wystarczająco duża, aby z tego twierdzenia korzystać, a) Przedział ufności dla średniej m liczby usterek konstruujemy, korzystając z granicznego rozkładu statystyki X, tj. z rozkładu normalnego. Przedział ten jest postaci takiej jak w przykładzie 5.2.1 gdy znana jest wariancja, a rozkład jest normalny, przy czym cr jest zastąpione przez s, tzn.

x — u_a —= < m < x + u_a —= ,

\/n    vⁿ

gdzie ^<t^>(u_a) = 1 — a/2. Dla a = 0.05 odczytujemy z tablic rozkładu N(0,1) wartość u_a = 1.96. Obliczone z próby wartości statystyk wynoszą x = 1.52 i s = 1.24. Zatem przedział ufności dla przeciętnej liczby usterek m w produkowanych urządzeniach jest postaci

1.52-1.96

1.24

v/500

<m< 1.52+1.96

1.24

V50Ó

czyli 1.41 < m < 1.63.

Maksymalny błąd oszacowania przeciętnej m jest równy (1.63 — 1.41 )/2 = 0.22.