20121211229

Przykład z więzami:

ruch cząstki w polu grawitacyjnym, żądamy aby ruch odbywał się tylko na powierzchni nieruchomej sztywnej kuli o promieniu a. (współrzędne sferyczne)

T - — m(v² + vl + v² )= — m(r² + r²Ś² + r² sin²(0)0²)

V — mgz = /wgrcos(0)

L =T -V = — m(r² + r²0² +r² sin²(0)0² mgr cos{0)

(równanie więzów)

ekstremum I - J Ldt; g{t,r,0,(p)-r-a = 0 Tworzymy funkcję:

L - L + Ag — — m(r' + r~0² +r² sin²(&)$ )— mgr^cos{@)⁺ ^ ~

^fdj£

= 0,i = 1,2,..., n.

Wstawiamy tę funkcję do równań E-L:    __

dr

cq,

(zal. r - a = 0)

|dla r:A-mgcos(ć?)+ mrsin²(#)^~ + mrd² -mr- 0 dla 0: mgr sin (0)+mr² sin(#)cos(<9)^²

dt

dla <j): —- = const => mr' sin² (0)0 -    = const ■

d<f>

Pó

² sin²(0)