CCF20121001001

ZBIORY RÓWNOLICZNE ZBIORY SKOŃCZONE I NIESKOŃCZONE Mówimy, że dwa zbiory A i B są równoliczne lub jednakowej mocy, jeżeli każdemu elementowi zbioru A odpowiada dokładnie jeden element zbioru B i odwrotnie, każdemu elementowi zbioru B odpowiada dokładnie jeden element zbioru A.

Zbiory dzielimy na zbiory skończone i zbiory nieskończone.

Zbiór A nazywamy zbiorem skończonym, gdy istnieje taka liczba naturalna n, że dany zbiór jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych {1, 2, 3, ..., n}. Mówimy wówczas, że zbiór A zawiera n elementów.

Zbiór, który nie jest zbiorem skończonym nazywamy zbiorem nieskończonym._

MOC ZBIORU

Liczebnością lub mocą zbioru skończonego A nazywamy liczbę elementów należących do tego zbioru.

Liczebność zbioru A oznaczamy symbolem n(A).

Przykład 3

Jeżeli A= {7, 8,11,13}, to n(A) = 4

Zbiory skończone lub jednakowej mocy ze zbiorem liczb naturalnych nazywamy zbiorami przeliczalnymi. Zbiór przeliczalny jest to taki zbiór, którego elementy można ponumerować.

Każde dwa zbiory przeliczalne nieskończone są zbiorami równej mocy. Moc zbiorów przeliczalnych nieskończonych oznaczmy symbolem X₀.

Przykład 4

Zbiór wszystkich liczb naturalnych parzystych jest zbiorem przeliczalnym, ponieważ jest to zbiór ró_gwnej mocy ze zbiorem wszystkich liczb naturalnych N,_

Własności zbiorów przeliczalnych

1.    Dowolny podzbiór zbioru przeliczalnego jest zbiorem przeliczalnym.

2.    Dowolny zbiór nieskończony zawiera podzbiór przeliczalny.

3.    Iloczyn dwóch zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym.

4.    Suma dwóch zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym.

5.    Iloczyn kartezjański dwóch zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym

Przykłady zbiorów przeliczalnych

•Zbiór liczb parzystych 2N.

•Zbiór liczb całkowitych C.

•Zbiór liczb wymiernych W.

Przykłady zbiorów nieprzeliczalnych

•Zbiór liczb rzeczywistych R.

•Przedziały postaci:    (_a, b), (a,b), (a, b), {a, b},

(a,+oo),(a,+oo), (-00,b), (-00,b)

Moc zbioru R wszystkich liczb rzeczywistych nazywamy continuum i oznaczmy przez C

Zbiór mocy równej ze zbiorem wszystkich _|()liczb rzeczywistych R jest zbiorem mocy continuum._

FUNKCJE I ICH PODSTAWOWE WŁASNOŚCI

Podstawowe definicje

/: X —> Y f    y=f(x)

/(-

zbiór wartości X - dziedzina

na

AV/(*) = y

yeY xeX

przeciwdziedzina

)-Y

SXcRⁿ=>fnazywamy funkcją z n zmiennymi rzeczywistymi;

■S YcR =>/ nazywamy funkcją rzeczywistą;

■Swykresem funkcji/:A-»Fjest podzbiór zbioru X xY określony następująco: H-',={(x_vr)eX xT:/iA)=_y};

Podstawowe własności funkcji rzeczywistej zmiennej rzeczywistej

czyli /: X -» Y, gdzie X c R i Y <= R

•S Monotoniezność S Ograniczoność ^Parzystość, Nieparzystość ^Różnowartościowość

12

S Okresowość__