Macierze i wyznaczniki
0

82

Macierze i wyznaczniki

	’ 1 0 0 0	\ -^2 0 °'		'l 0 0 0	1    -2 0 0" ^2    l 0 0^0
	0 0 0 1	0 10 0		0 10 0
	0 10 0	0 0^0 1 ,		0 0 10	2 - -2 0 1 2
	0 0 10	- -2 0 1 2		.0 0 0 1	0 1 0 oj

				-1	- 1	-2	0	0 '
2	0	0	4 '		2		l
0	0	0	1		0	0		0
0	2	0	0	^=	1		2	1
-1	0	1	0 .		2	_2	0
					L o	1	0	0 .

Zatem

• Przykład 3.18

				'12 3‘		'146'
4 2' 1 4	• X = 4X +	" -2 0 ^0 -^1.	; b) x ■	0 2 3 0 0 3		0 2 6 0 0 3

Rozwiązać podane równania macierzowe wykorzystując operację odwracania macierzy:

Rozwiązanie

a) Mamy

42' -1 4

X = 4X +

'-2 0‘ 0 -1

4=^

4 2" -1 4

X -

4 0‘ 0 4

X =

'-2 0' 0 -1

0 2 -1 0

-2 0 0 -1

-1	'-2 0'
	-1 1 O

X =

0 2 -1 0

	'-2 0‘		Ol'
	0 -1		-1 0

0 -1

I -

b) Mnożąc obie strony rozważanego równania prawostronnie przez macierz

otrzymamy

Ponieważ

2

2

' 1 0 0

0 3

	'14 6'		' 1 2 3'
X =	0 2 6		0 2 3
	.0 0 3 .		0 0 3.

' 1	2	3 '	— 1	' 1 0	-1 1	0 ' 1
0	2	3	=		2	2 1
. 0	0	3 .		0	0	3 -

		'1-1 0 '
<£> T}<		n 1 1		■110
0 2 6		^0 2 "2	=	0 1 1
. 0 0 3.		0 0 -		0 0 1.
		L 3 J

Zadania

83

• Przykład 3.19

Jakie są możliwe wartości wyznacznika macierzy rzeczywistej A stopnia n, jeżeli: a) A² = A^T;    b) A^T - A~¹ = O;    c) A² + A"¹ = O?

Rozwiązanie

W rozwiązaniu wykorzystamy następujące własności wyznaczników:

det (A² ) = det A, det (A^-1) = (det A)^-1; det (A^k) = (detA)^fc , gdzie k 6 N;

det (a.4) = aⁿ det A, gdzie n oznacza stopień macierzy A.

a)    Korzystając z tych własności kolejno otrzymamy

det (/i²) = det (A^t) => (det A)² = det A <?=> det A = 1 lub det A = 0.

Zatem jedynymi możliwymi wartościami wyznacznika macierzy A są 0 i 1. Przyjmując A = [0] i A = [1] widzimy, że obie te wartości są realizowane.

b)    Korzystając z własności podanych na początku rozwiązania otrzymamy A^r- A~‘ =0 <=>A^r = A^-1 ==> det (A^t) = det (A^-1)

det A = (det A)^-1 -*=*- det A = 1 lub det A = -1.

Zatem jedynymi możliwymi wartościami wyznacznika macierzy A są liczby —lii. Przyjmując A = [1] i A = [—1] widzimy, że obie te wartości są realizowane.

c)    Korzystając, jak poprzednio, z przytoczonych na wstępie rozwiązania własności wyznaczników kolejno otrzymamy

A² 4- A~¹ — O <=> A² = —A"¹ => det (A²) = det (—A^-1)

<=> (det A)² = ( —l)ⁿ (det A)^-1 (det A)³ = (-1)", gdzie n oznacza stopień macierzy A. Zatem jedyną możliwą, wartością wyznacznika macierzy rzeczywistej stopnia nieparzystego jest liczba — 1, a macierzy stopnia parzystego jest 1. Przyjmując

. _r „    .    f -1    0 '

A = [—lj oraz A = o —1 widzimy, że obie wartości wyznacznika są realizowane.

Zadania    odp. str. 200

3.1

a) Zaproponować opis, w formie macierzy złożonej z liczb całkowitych, położenia figur w grze w szachy. W jaki sposób można by sprawdzić, czy dana macierz odzwierciedla pozycję możliwą do uzyskania w czasie gry?