ZKAN201

i

i

I termin 5 lutego, 2009

Egzamin pisemny z matematyki Geodezja i Kartografia, I rok Czas trwania: 90 minut

Imię i nazwisko: _

Prowadzący ćwiczenia:_ Ocena z ćwiczeń:

Zadanie	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	Suma
Maksymalna liczba punktów	G	5	5	5	5	7	5	5	6	. 5	6	60
Punkty uzyskane

Uwaga! Każde zadanie rozwiązujemy na oddzielnej stronie, picr~wszc zadanie na pierwszej stronie, drugie na drugiej, it.d.

I

^ j l7j W zbiorze K² określona jest. relacja: x, y G R², r.lZy 3a / 0 : r: = oy. Pokazać, że jest, Lo relacja równoważności. Podać przykłady trzech elementów należących do klasy abstrakcji [(2,-1)].

V 2. | Niech /(:?;) = 2^^_1 oraz B = (0,8]. Znaleźć przcciwobraz zbioru B przez odwzorowanie /. f¹ 3. | Zbadać zbieżność szeregu Yj    .

n-2 ^V

~V    4. { Sprawdzić, czy liczba ()¹ należy do zbioru A = (z G G : Im z ^ 0}.

-f- ! 5. | Obliczyć granicę ciągu a_n =    '

4- ra Zbadać ciągłość funkcji / w punkcie x = 1:

. ¹    —rr    dla x < L,

1—eos(x—1)

/(:r) = cos7r    dla x — 1,

(a:² — l)*^-1 dla x > 1.

* i.I-i -HlEI

-Hzm

133

^ ii.

a)

b)

c)

d) c)

f)

Wyznaczyć ekstrema lokalne i zbadać monotoniczność funkcji

f(x) — x² -f x — 2 ln(l -t- .r²) - 2 arc tg.z.

Zakładając, że dziedzina funkcji / jest taka sama jak dziedzina /'. /", wyznaczyć argumenty, w których funkcja / ma punkty przegięcia oraz przedziały wypukłości (wklęsłości) funkcji, gdy

riii    _ (6+x—x²)arcctg.r

J W -    x(l+x^J)

Sformułować twierdzenie o wzorze Taylora z resztą Lagrangc’a. Zastosować to twierdzenie do funkcji f(x) = ln(l + 2x) i punktu .to = 0 dla n = 3, a następnie obliczyć w przybliżeniu ln(l,2) pomijając resztę.

Sformułować twierdzenie o własności Darboux. Następnie, korzystając z tego twierdzenia, pokazać, że równanie sin § cos § + sin f cos § — \ = 0 ma rozwiązanie.

Na podstawie rysunku, który przedstawia wykres funkcji /, ocenić, czy następujące zdania są prawdziwe: f'{x) > 0 dla x G (2,oo),

funkcja f jest. nieciągła w co najwyżej jednym punkcie,

/(-4) < /"MO,

funkcja / nie jest rosnąca w przedziale (0,3), lim f(x) — +oo,

lim /(*) = /(3) + /^#(3).

,r—»— oo