page0443

43&

Różniczkowy rachunek

n (n—1)    .    n (n—1) (n—2)

(x+fr) ⁿ=xⁿ\-nhx^tl~¹Ą--—-—hⁱxⁿ~~ ²-f-- ■ ■ -⁸ -f-.....

1. «    1. «. u

Z tych wzorów łatwo jest dostrzedz, ze wszelka funkcyja X (którą oznaczamy przez y), w skutek podstawienia w niej X Ą- h zamiast x, zmienia się na Y i że Y—y -\-ph -f- qhP rh ^rb³ 4-....., gdzie p, q, r,.....są funkcyjami X i nie za

wierają w sobie h. Toż samo rozumowanie stosuje się do wszelkich funkcyj. Możemy toż samo i tak wyrazić, jeżeli y~.f(x), w skutek podstawienia

x-yh za x, otrzymamy Y=f\X^h^—f(x)-\-hf\x)-\-h²f‘‘ (x)-\-h?f“‘ (xi -f-.....

widocznie jeżeli przyrost x jest k, przyrost funkcyi jest Y—y ' ten się

równa hf^x(x)-h h²f" (x) -f-    (x)    ....., nazwawszy Y — y przez /r,

będzie k — hf* (X) 4- h?f" (x) -f* h?f^iU (x) +.....; dzieląc obie strony przez h,

k

otrzymamy — =f‘ (x) -f- hfⁿ {x) -j- h?f^,i,(x).....czyniąc h—o, natenczas

chociaż przyrost zmiennej jest zero, jednak stosunek przyrostu funkcyi do przyrostu zmiennej, nie zamienia się na O, lecz dosięga swojej granicy, i tak otrzy-

k

mamy granicę —=f^,(x)\ to jest: granicą stosunku przyrostu funkcyk do przyrostu zmiennej x jest f‘ (x). Najdokładniejszego wyobrażenia o tej granicy nabywamy w teoryi linij stycznych. W granicy według powyższego oznacze-

^k

nia zamiast k bierzemy dy, zamiast h zaś dx, granica więc stosunku — jest

dy

dx

dy_

dx

=/*' (x), .loczyn zaś czyli z f‘{x) przez h, które tutaj jest dx, to jest dx albo f‘ (x) dx nazywa się różniczką dla odróżnienia jej jako części od

całkowitej różnicy pomiędzy funkcyją, która doznała przyrostu, a funkcyją pier-

dy

wotną; zaś ^ —f* (x) nazywa się spółczy unikiem różniczkowym, Różnicz

kowanie jest działanie, za pomocą którego wyznaczamy różniczki albo spółczyn-niki różniczkowe rozmaitych funkcyj. Niech będzie y - a + b xⁿ\ uczyniwszy x=xĄ-h, będzie Y—a -f- b{x +- K)ⁿ—a -f- bxⁿ -f- nbxⁿ ~ ^lk -f-n(n—1)    (n—1)

H--—bxⁿ~ ²^²4 ••••, więc 7—y—k.—nbxⁿ~ ^lh+n—?~    bx^H~-ti^eĄ-..„

1* »    i. 2

k    n (n—1)    k

h

Niekiedy spółczynnik

1. 2

a przeto — ■=.nbx^,t H---—-—bxⁿ 2A-f-....., a przeto granica — czyli

dy    ' ₍ dy

— — nbxⁿ 1_ł a więc różniczka — dx~ nbxⁿ—¹ dx.

dy

różniczkowy — oznaczają przez y*. Tę funkcyją nową nbxⁿ 1 można zno

wu różniczkować i otrzymamy d

W

= n(n—1 ~)bxⁿ 2, który to współ-

d²y

czynnik różniczkowy oznaczamy inaczej - albo y^u\ nazywa się on spółczynni-

dx

28#