0127

128

U. Funkcje jednej zmiennej

punkt x=Q jest punktem nieciągłości drugiego rodzaju — z obu stron; mianowicie przy x-*0 jest

l/Wh®:

1 1

/(+ 0)= lim -3 = + oo,    /(—0)= lim —j = — co .

*-.+0X    X-* — O X

4) Funkcja

/(x)=sin—    (przy x/0)

x

rozważana w ustępie 54,9) w punkcie ^=0 ma nieciągłość drugiego rodzaju z obu stron, ponieważ nie istnieje żadna z granic jednostronnych tej funkcji przy x->0.

5) Natomiast funkcja [54,10)]

f(x)=x sin — (przy x^0), x

dla której, jak wiemy, istnieje granica

lim/(x)=0,

*-*0

może być — zgodnie z uwagą z ustępu 66 — uzupełniona do funkcji ciągłej w x = 0, przy przyjęciu

/(0)=0.

6) Określmy dwie funkcje równościami:

/iW=o^lh (a>l),    /2(*)=arctg —

x

dla x^0, a ponadto przyjmijmy /i(0)=/₂(0)=0.

Dla pierwszej z nich mamy:

/i(+0)= lim a¹*— lim a’= + °o,

*-• + 0    X~* + oo

fi( —0) — lim a'^,x= lim a = 0,

-0

tak żę w punkcie jc=0 jest prawostronna nieciągłość drugiego rodzaju i lewostronna ciągłość. Dla drugiej funkcji mamy

1

/i(+0)= lim arctg— = lim arctgz=łJi,

x +0    X *-* + oo

/₂(_₀)=-łn,

i w punkcie x=0 są obustronne skoki. Wykresy tych funkcji dane są na rysunkach 29 i 30.