027

Prfldad 9

Urćete soućin komplexnich ćisel

= ¹ „ _ 1 ¹ cos + i sin f n ’ ~² cos |it + i sin §7t ’

1

^3    4    . .    4

COS |7t + 1 Sm |7t

Reśerń

Uvedomime-li si, ze

Zi = cos(-§7t) + i sin (—fn), z₂ = cos(-§7t) + isin(-fir), Z3 = cos (-fn) + i sin (-fn:),

dostaneme

Z1Z2Z3 = cos (—frc - §Jt - f 71) + i sin (-frc - f n - fn) =

= cos(-||n) + i sin (—ffn) = cos ff % + i sin ffn.

Nasledujicim prikladem so nedejte zastrasit, v podstate je velmi jednoduchy.

Prfklad 10

Zapiśte v goniometrickem t.varu ćislo

1

cos p — 1 sin p +

cos p + i sin p )

(cos 2p + i sin 2p).

Iłeśeni Upravou

cos p — i sin p +

1

cos² p 4- sin² p + 1

cos p + i sin p cos p + i sin p cos p + i sin p dostavame pro ćislo z:

cos p -f- 1 sin p = 2 (cos p + i sin p)

(cos 2p + i sin 2p) = 2

cos 2p + i sin 2p cos p + i sin p

Ulohy

2.11 V goniometrickem tvaru yyjadrete fisia:

	1	b)	i
aj	cos + i sin		cos + i sin
c)	cos |n + i sin |x	d)	1
	2i		i

2.12 V goniometrickem tvaru yyjadrete fisia:

a)    (1 - i) (cos + i sin j^it)

b)    (cos + i sin |x) i

c)    2isin |ti (cos + isin |ti) (cos (—|tc) + isin(—§tc))

^ cos |tc + i sin |tc    1 + i

1 - i    cos + i sin

*2.13 Dokaźte matematickou indukci, ze pro ysechna komplexni fisia

Zk = fk (cos pk + isin<^jt), k = 0,1,2,... ,n,

a pro każde prirozene fislo n plati

ZlZ₂ ■■■Z_n- nr-2 ■ . . r_n[cOS (|^1 + </>2 + ■ ■ • + <p_n) +

+ i sin (v?i +    + • • • + y>n)]-

a)

2.14 Urfete absolutni hodrioty a argumenty komplexnich fisel: 1 1 1

cos rup +1 sin rup

cos <p + i sin <p cos 2 p> + i sin 2 p

(ip    ip\    ( <p    ip \

cos — + i sin — 1 ... I cos — 4- i sin — 1

2.15 V goniometrickem tvaru zapiśte fisia:

a)

cos |ti + i sin cos — i sin

b)

sin (p +1 cos ip

53