0032

34

VIII. Funkcja pierwotna (cdka nieoznaczona)

Niech będzie dany ułamek właściwy P/Q, o którym zakładamy, że jest nieskracalny i że jego mianownik Q jest rozłożony na czynniki pierwsze [patrz (3)]. Wówczas całka tego ułamka zapisze się w postaci sumy całek ułamków postaci (5) [lub (6). Jeśli k (lub m) jest większe od jedności, to całki wszystkich ułamków grupy (5) lub (6)] oprócz pierwszej przekształcą się według wzoru (7) [lub (8)]. Łącząc wszystkie te wyniki otrzymujemy o-stateczny wzór w postaci

(9)

r p(x)

J Gto

dx =

P i(x) Gito

+

r P₂(x)

J QtW

dx.

Część wymierną całki PilQi otrzymujemy w wyniku dodawania wydzielonych wyżej części wymiernych, jest więc ona przede wszystkim ułamkiem właściwym, a jej mianownik Q_t ma rozkład

<2i(x) = (jc-a)*-¹... (x²+px+4)^m-¹ ...

Co się zaś tyczy ułamka P₂IQ₂> który pozostał pod znakiem całki, to otrzymuje się go z dodawania ułamków postaci I i III, a więc jest on również ułamkiem właściwym

Q₂(x) = (x-a) ... (x²+px + q) ...

Oczywiście [patrz (3)] Q = Q_x Q₂.

Wzór (9) nazywa się wzorem Ostrogradskiego.

Różniczkując można przedstawić go w postaci równoważnej

Widzieliśmy, że wielomiany Qi i Q₂ można łatwo znaleźć, jeśli znamy rozkład (3) wielomianu Q. Mogą być one jednak wyznaczone również bez tego rozkładu. Rzeczywiście, ponieważ pochodna Q' zawiera wszystkie czynniki pierwsze, na które rozkłada się Q w potędze o jeden niższej, Q_t jest największym wspólnym dzielnikiem Q i Q', a więc można go obliczyć z tych wielomianów na przykład przez kolejne dzielenie (czyli za pomocą algorytmu Euklidesa, przyp. tłum). Jeśli znamy Q_t, to Q₂ wyznaczamy dzieląc po prostu Q przez Q_t.

Zajmiemy się teraz wyznaczeniem dzielników P_t i P₂ we wzorze (10). Skorzystamy w tym celu także z metody współczynników nieoznaczonych.

Oznaczmy stopnie wielomianów Q, Q_u Q₂ odpowiednio przez n, n_u n₂, wówczas, «i +n₂ = n. Stopnie wielomianów P, Pu Pz nie przewyższają odpowiednio n—l, n_l — 1, n₂— 1. Podstawmy za P₂ i P₂ wielomiany stopnia n₁ — 1 i n₂ — 1 o współczynnikach literowych. Współczynników tych będzie razem «i+«₂, tzn. n. Zróżniczkujmy (10) obustronnie, otrzymujemy

P[ Qi~Pi Q\

Gf

+

h.

82

p 8 '