055

A HibUl. IM1U.1 ,Vv».    -u, r ), buui :uO

ISBN D4H1II ł-7. © l>. »N TOS >«}

S5

3 3 FUNKCJE FALOWE I RÓWNANIE SCMRÓOINGEftA

ich dokładnego położenia i zadowala się obliczaniem prawdopodobieństwa napotkania cząstki, wyrażanego za pomocą funkcji gęstości prawdopodobieństwa Nasuwa się pyta nic. na jakich zasadach trzeba się oprzeć, aby obliczyć taką funkcję Mechanika kwantowa udziela nam odpowiedzi, wskazując na analogie w zachowaniu się fotonu i takich cząstek, jak elektron czy proton. Zarówno zachowanie się fotonu, jak i zachowanie się elektronu czy innej cząstki opisujemy, traktując ich ruch raz jako rozchodzenie się fal. a raz jako ruch korpuskul.

Zgodnie z teorią falową światła natężenie promieniowania — ilość energii pize-noszona przez przekrój o powierzchni jednostkowej — jest wprost proporcjonalne do kwadratu amplitudy fali świetlnej Zgodnie z. teorią kwantową światła natężenie promieniowania jest wprost proporcjonalne do liczby przepływających kwantów. Tc dwa twierdzenia stwarzają pomost pomiędzy ujęciem falowym a ujęciem korpuskularnym. Można mianowicie powiedzieć, ze kwadrat amplitudy fali świetlnej jest wprost proporcjonalny do liczby kwantów energii.

Przypisując elektronowi zarówno właściwości korpuskularnc. jak i falowe, możemy przez analogię przyjąć, żc kwadrat amplitudy fali de Broglie'a (p. 3.1), odpowiadającej naszemu elektronowi, jest wprost proporcjonalny do prawdopodobieństwa napotkania elektronu. Kwadrat amplitudy fali dc Broglie'a podaje nam pizeto gęstość prawdopodobieństwa.

W mechanice kwantowej oblicza się amplitudę fali dc Broglic‘a z równania, które ma postać analogiczną do postaci równania opisującego rozchodzenie się fal. Równanie to. zwane rów naniem (Erwina) Schródingera. ma postać

(3 16)

3^;tf-    3*lP    9²tP    8*^łm „    „ _r

— + — + — += 0

dx¹    3\^:    3Z² h^l

Symbol 'P oznacza tutaj amplitudę fali de Broglie‘a. Przyjmuje ona różne wartości w różnych miejscach przestrzeni. Jest więc funkcją zmiennych .v. y i z- E oznacza całkowitą enetgię elektronu, a V — jego energię potencjalną Równanie (3.16) jest równaniem różniczkowym, jego rozwiązaniem są zatem nic liczby, lecz funkcje zwane funkcjami falowymi

W ogólnym przypadku funkcja P jest funkcją zespoloną zmiennych rzeczywistych x. y. r Kwadrat amplitudy fali de Bioglie'a. podający gęstość prawdopodobieństwa napotkania elektronu p(x.y.z). równa się wówczas bezwzględnej wartości kwadratu modułu funkcji <P

W przypadkach szczegółowych funkcje </' zespolone mogą być zastąpione przez funkcje <t> rzeczywiste. Rzeczywistymi funkcjami falowymi będziemy się posługiwać w dalszym ciągu tej książki przy rozpatrywaniu zachowania się elektronów w atomach i w cząsteczkach. Kwadrat amplitudy fali de Broglie'a. a zatem i gęstość prawdopodobieństwa. p{x. y. z), będą wówczas dane przez kwadrat bezwzględnej wartości funkcji <P. Możemy więc napisać    .    ,,

p(x.y.z)= |d'U.v.z)|    (3.17)

Prawdopodobieństwo napotkania elektronu w objętości dr znajdziemy teraz z rów-^nan,a    W m p(x. y, r)dv ■ y. r)|^łdv    <3.18)