0649

651

§ 5. Całki Eulera

Zamieniając a na 1 —a możemy napisać

i

R₀ = / ln ^(l-a) da.

O

Dodając stronami otrzymamy

1    A.

2R₀ = f lnl\a)r(l-a)da = f ln . ” da =

J    J    sm aiz

o    o

75    7T/2

= ln n--I ln sin x dx = ln w---- I ln sin x dx.

n J    iz J

o    o

Podstawiając do tego wzoru wartość znanej nam już całki [492, 1°] znajdziemy:

(18)

R₀ = J ln r (a) da + ln ]/2n .

Raabe rozważał całkę (przy a > 0)

a+l    afl    a

R(a) = f ln T(a) da = J - f .

a    0    0

Ponieważ oczywiście jest

R'(a) = ln /’(n + l)—ln F(a) = Ina [por. (9)], więc całkując znajdziemy dla a > 0

R (a) = a (ln a — 1) + C .

Ponieważ funkcja R (a) jest ciągła i dla a = 0, więc przechodząc tutaj do granicy przy a -* 0 otrzymamy C = R₀. Podstawiając wartość (18) dochodzimy do wzoru Raabego

(19)    R(a)= J ln T(a) da = a (ln a — l)+ln /2rc .

41

8° Wzór Legendre'a. Jeśli w całce

i    i

B(a, a) = / x‘-¹(l-x)^fl-¹dx = / [± - (-i- -x)²]^a_1</x =

O    O

= ²/ [t ^_ (l x)²J^a_I£/x

o

podstawiamy - — x = j|ft, to otrzymamy

t

B («, a) = 2^- j r^1/z(l - ty-¹* - 2*rr * (i. fl).