0675

677

§ 5. Całki Eulera

Z istnienia całki J u*^-1 cos u du wynika, że całka wewnętrzna dąży do niej, gdy b₀ 0 i B -+• + o

i pozostaje ograniczona:

Bu

I ( «•**-cosudu\<L.

'bx

Tym samym całe wyrażenie podcałkowe jest zmajoryzowane przez funkcję Le~"x^,~*~^l i przejście graniczne przy b_a -» 0 i B -* + oo może być dokonane pod znakiem całki itd.

8) Rozpatrzmy funkcję

i

łW-Dlnr(i)- f — dx—C

J 1 — X O

[por. (25)]. Z jej określenia wynika, że

i

f ^X'~^X' dx = v>(«+l)-y(p+l)

J 1—* o

(dlap+l>0, j+l>0).

Korzystając z tego zbadajmy teraz całkę

^i=s I    dx («> —1,/S > -l,*+p> 1).

J (1 —ln jc

o

Obliczmy jej pochodną względem ot

ŚŁ

dot

(™=*dx

J \-x

_V(a4-l)-V»(<*+jJ+D = -r-1n d«

r(*+n

r(*+/»+i) *

Zatem

/ = In

r(x+p+1)

+c.

Ponieważ dla x = 0 jest 7 = 0, więc C — lnT (0+1) i ostatecznie

. i_n r(x+pr(0+i) r(x+p+1)

Podobnie można obliczyć całki

K

-/

(1—JC) ln AT

o

_ln r(a+y+l)r(a+g+l) r («+i) r (<x+p+y+i)

(* > —!,»+/? > —1 ,ot+y > —ł,«+/?+y > -1),

L

-J

(1—**)(!—*^)(l—*^v) _rfr_ (1— z) Ina

, r(a+i>rtf+i)r(y+i>r(«+^+y+i)

r(x+p+1) r (*+y+i) r(fi+y+i)

(a > -i, *+p > -i, «+y > -i, x+P+y > -i).

itd.