1078

Rozwiązanie

Średnią arytmetyczną wygodnie będzie wyznaczyć posługując się tablicą z obliczeniami pomocniczymi, gdzie w ostatniej kolumnie wpisane są iloczyny wartości cechy i odpowiadających im liczebności. Suma wartości z ostatniej kolumny powinna zostać podzielona przez sumę liczebności, zgodnie ze wzorem (4.5).

Tablica 4.5. Obliczenia pomocnicze do przykładu 4.6

Oceny z matematyki W	Liczba uczniów (nj	Obliczenia pomocnicze
1	2	12 = 2
2	4	2 4=8
3	10	3•10 = 30
3,5	4	3.5 • 4 = 14
4	4	4 4 = 16
4.5	1	4.5 1=4,5
5	2	5-2=10
6	1	6 1=6
Suma	N = 28	t X*,", =90,5 M

Źródło: dane umowne.

Liczba 90,5 w naszym przykładzie stanowi sumę wszystkich otrzymanych ocen (czyli sumę wartości cechy), ogólna liczba obserwacji wynosi 28. Zatem podstawiamy:

x =    -

N

Przeciętna ocena uzyskana przez ucznia III a z matematyki w semestrze zimowym wynosiła 3,23. Można zatem powiedzieć, że średnie oceny uzyskiwane przez uczniów z tych dwóch klas z matematyki były do siebie zbliżone, z tym że przeciętna była nieco wyższa (lepsza) w klasie lllb (o 0,27 pkt).

W szeregach rozdzielczych przedziałowych (por. tabl. 4.6) wartości cechy w każdej klasie nie sąjednoznacznic określone, ale mieszczą się w pewnym przedziale. Możemy jednak przyjąć umownie, że wartości cechy wewnątrz każdego przedziału rozłożone są równomiernie, a wówczas środek przedziału jest jednocześnie średnią wartością cechy w przedziale. Środek przedziału klasowego obliczamy jako średnią arytmetyczną prostą górnej i dolnej granicy danego przedziału. Oznaczamy go symbolem xi. Otrzymana w ten sposób wartość jest oczywiście pewnym przybliżeniem wartości cechy. Do obliczenia średniej arytmetycznej w szeregu rozdzielczym przedziałowym posługujemy się następującym wzorem:

X -

(4.6)

gdzie:

k - liczba przedziałów klasowych,

Xi - środek przedziału klasowego o numerze /, pozostałe oznaczenia jak we wzorze (4.5).

Przykład 4.7.

W pewnym przedsiębiorstwie zatrudniającym 130 osób przeprowadzono badanie dotyczące ich stażu pracy. Otrzymane wyniki przedstawia tabl. 4.6. Na podstawie poniższych danych oblicz przeciętny staż pracy pracowników w tym przedsiębiorstwie.

Tablica 4.6. Rozkład empiryczny stażu pracy

Staż pracy w latach	Liczba pracowników n,
	lił
4-6	20
6-6	35
8-10	45
10-12	15
12-14	5
Suma	130

Źródło: dane umowne.

Do obliczenia średniej arytmetycznej w tym szeregu wykorzystamy wzór (4.6).

Przystępując do rozwiązania tego zadania, przypomnijmy sobie, jak powinniśmy rozumieć informacje zawarte w tablicy powyżej np. dane podkreślone, odczytamy następująco: w badanym przedsiębiorstwie 10 pracowników ma staż pracy od 2 do 4 lat. Przedział stażu pracy od 2 do 4 lat jest pierwszym z sześciu występujących w tym przykładzie przedziałów klasowych. Wartości cechy, tj. stażu pracy są podane w przedziałach klasowych. Nie mamy informacji o każdej jednostce, wiemy tylko, ile z nich trafiło do danego przedziału klasowego. I tak. w pierwszym przedziale klasowym znajduje się dziesięć obserwacji. Dla wyróżnionego, pierwszego przedziału klasowego środek przedziału klasowego wyznaczymy następująco:

° _^xoi^+xu _ 2 + 4 _ 6 _ ^

¹ 2 2 2

Pozostałe środki przedziałów klasowych wyznaczamy analogicznie (por. kolumna 3 w tablicy 4.7).

95