0075

77

§ 5. Całki eliptyczne

wiście jeśli P_n(x) jest wielomianem stopnia n zmiennej x, to

(10) f . ^P^ ^dĄ— = ttlo + pIi + zOn-i (z²) |/(1-2²)(1-A:²z²),

J y(l-z²)(l-k²z²)

gdzie a, i /?„ są stałe, a Q„-₂ (x) jest pewnym wielomianem stopnia n—2 zmiennej x. Wyznaczyć te stałe i współczynniki wielomianu Q można Gęśli wielomian P jest konkretnie dany) metodą współczynników nieoznaczonych [porównaj 284,1].

Zauważmy, że ze wzoru (9) można by było wyznaczyć całki /„ przez J₀ i I_t także dla ujemnych wartości n — —1, -2,..., a więc w całkach H_m wystarczy ograniczyć się do a 0.

Przechodząc do całek H_m (powiedzmy przy rzeczywistym a), w podobny sposób wyprowadzimy dla nich wzór redukcyjny

(2m—2) [ - a +(k² +1) a²-k²a³] H_m-(2m - 3) [1-2a (k² +1) + 3k²a²] H_n-₂ +

+2(m—4) [(k² +1) — 3k²a] H_m-₂—(2m—5) k²H_m-₃ =    ^(l-*²) (l-k²z²) ,

słuszny również dla m = 0 i m ujemnych. Wobec tego wszystkie H_m wyrażają się przez trzy spośród nich

Hi -

dz

(z²—a) j/(l — z²) (1 — k²z²)

H_q =

H-! =

dz

]/(l-z²)(l-k²T²) (z² —a) dz

= I

0 >

l/(l-Z²)(l-Jt²Z²)

= h-al

O 9

więc ostatecznie przez 7₀, I_t i H₂.

Podkreślamy, że wszystko to pozostaje w mocy również dla zespolonych wartości parametru a, nie będziemy się jednak wdawali w związku z tym w objaśnienia odsyłając czytelnika do § 5 rozdziału XII.

Tak więc w wyniku wszystkich naszych rozważań dochodzimy do ogólnego wniosku: wszystkie całki eliptyczne sprowadzają się za pomocą elementarnych podstawień i z dokładnością do składników wyrażających się w postaci skończonej (*) do następujących trzech wzorcowych całek podstawowych:

/

dz

ł/(l-z²)(l-F?T *

J

z²dz

]/(l-z²)(l-PP)

(0 < k < 1)

(') Chociaż wyżej daliśmy wystarczające wskazówki na to, by zagadnienie sprowadzenia dowolnej całki eliptycznej do trzech wyżej wspomnianych całek można było uważać w zasadzie za rozwiązane, jednak w praktyce można na tej drodze napotkać trudności. W specjalnych monografiach poświęconych ctdkom eliptycznym i pokrewnym zagadnieniom można znaleźć inne, wygodniejsze w praktyce metody prowadzące do tego celu.