Ebook
7

22 llozdztuł I. 1'rzr.gląd funkcji elementarnych

22 llozdztuł I. 1'rzr.gląd funkcji elementarnych

Funkcje wykładnicza i logarytmiczna są funkcjami równowartościowymi, ściśle monotonicznymi i ciągłymi w swoich dziedzinach. Funkcja wykładnicza przyjmuje wartości dodatnie.

Przy rozwiązywaniu równali i nierówności logarytmicznych i wykładniczych będziemy wykorzystywać następując!* związki:

^a€(0,l)U(l,+oo)	,X-2>0	(i, = X2 log„ X\ - log,, X2) ,	(1.14)
^V«6(0.l)	^Tl,Xj>0	(Xi < X2 <=> loguX, > log,, X2),	(1.15)
^a€(l,+oo)	^Tl.X2>0	{X[ < X2 <=> log,, X| < log^),	(I 16)
^ae(0.l)U(].+oo)	^x\ ,xj(zR	(X| = X2 <=-> <l^Tl = O*^3) ,	(1.17)
^Vat(0.1)	^Xi ,*afcR	(xi < X2 <=> a^1* > «^T3)»	(118)
	^fi.x2€K	(xi < X2 <=> a^X| < a^13).	(1.19)

PRZYKŁAD 13. Przy jakiej podstawie łogarytm liczby jest równy ROZWIĄZANIE.

Oznaczmy szukaną podstawę logarytmu przez x i załóżmy, że x > 0 i x / 1. Wtedy, korzystając z definicji logarytmu, mamy

,    ^3    5    &    ₀_ł    1

log, T ⁼ 3 ^ ^X* ⁼ 3 * <=> *= 3-

PRZYKŁAD M. Znaleźć błąd w następującym rozumowaniu:

Wiemy, że ^    zatem (J)³ < (J)². Stąd log(J)³ < log (3)², czyli

3log -j < 2log i, a zatem 3 < 2.

ROZWIĄZANIE.

Ponieważ log < 0, więc z nierówności 3 log < 2 log 5 wynika, że 3 > 2. PRZYKŁAD IT». Rozwiązać nierówność 2^2afa+4x+3 - 9 • 2^ł*⁺²*⁺³ ^ -64. ROZWIĄZANIE.

Wykorzystując własności potęg, przekształcamy podaną nierówność 8 • 2^2(x2+2x) - 72 • 2*’⁺²‘ + 04 ^ 0,

+ 8 0.

2'2(x³+2x) _    2^{x3 f2ł}

• iilaiiiwiając 2^X> f2x = t, otrzymujemy nierówność

<² - 9f + 8 ^ 0,

1 • Aiej rozwiązaniem jest 1 ^ t ^ 8. Zatem

I s$ 2^x*^+2x ś 8,

2° < 2^x^^2x ś 2³,

■ v Ił mamy rozwią/łić układ nierówności

f x² + 2x > 0 \ x² + 2x ^ 3.

Ml i|«l

f ar(ar + 2) ^ 0 \ (ar + 3)(ar- 1) ^0,

f ar € (-oc, -2| U (0, -ł-oo)

\ x e [-3, i|.

Ilozwiązanicin nierówności jest zbiór |-3, -2] U [0, l|.

1'IIZYKbAI) Ki. Rozwiązać nierówność (J)"^    ¹¹² < 5^,-;r.

HOZWIĄZANIE.

Mamy rozwijać nierówność (jr)¹² < (j)*^-1.

Korzystając z własności (1.18), dostajemy y/x* - 8ar + 12 > x - 1.

Kozważmy dwa przypadki.

I ,r²    8;r + 12 >0 i ar - 1 <0

2 ji² - 8ar + 12 ^ 0 i ar - 1 $s 0 i ar² - 8ar + 12 > (ar - l)². W pierwszym przypadku otrzymujemy

X¹ - Sar + 12 > 0 x - 1 < 0

ar £ (-oo,2] U [(>, -ł-oo) ar€ (-oo, 1),