str208

208 4. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE RZĘDU DRUGIEGO § 2. KLASYF

Własność 1. Znak wyrażenia B²—4 AC nie ulega zmianie przy przejściu do innych zmiennych niezależnych

£ = /(*».y) i r) = 9(.x,y),

D(£, V)

gdzie funkcje / i g mają ciągłe pochodne rzędu drugiego i jakobian —--^ 0 w roz-

D(x, y)

patrywanym obszarze.

Dzięki wyżej podanej własności wyrażenia 5 = B²—4AC, przeprowadza się klasyfikację równań typu (2.1) ze względu na znak 5 w następujący sposób:

a)    <5 = B²—4AC>0, to (2.1) nazywamy równaniem hiperbolicznym,

b)    <5 = B²—4AC = 0, to (2.1) nazywamy równaniem parabolicznym,

c)    S = B²—4AC<0, to (2.1) nazywamy równaniem eliptycznym.

Z każdym z wyżej wymienionych typów równania (2.1) związana jest pewna postać kanoniczna, a mianowicie:

	d^2u d^2u (du du	= 0 dla 5 > 0,
(2.2)	W~e?^+FW te’
	W (du du \	| = 0 dla <5>0,
(2.3)	m^+F We,-“’^S'V
	d^2u (du du \	O II 'O c3 •3 O II
(2.4)	te^2+FW te'
	d^2u d^2u (du du	17^ = 0 dla ó<0.
(2.5)	d?^+d?^+F{dl’ V ^uA’

Możemy tak dobrać funkcje / i g, ażeby przechodząc do zmiennych £, = f(x, y) i 4 — g(x,y) w równaniu (2.1) otrzymać jedną z wyżej podanych postaci kanonicznych. Wartości współczynników A_y , B_l, C,, a_v, b_x w równaniu

8²u _ d²u _ d²u du _ du

W

otrzymanym z równania (2.1) po wprowadzeniu nowych zmiennych d = f(x, y) i n = g(x, y), określają następujące zależności:

1 U I \    Ul Ul    I U I ^<2

^1

, df dg (df dg 'df dg\ df dg

ir w^lci'

dx

'd²f    d²f    d²f    df , df

dx²    dxdy    dy²    dx dy

^b' ‘ ^Ae?^+Bda_y^+cep^+a~^+b~-

Omówimy obecnie sposób dot cone równanie (2.6) miało pc

Definicja 2. Charakteryst; różniczkowych zwyczajnych

(2.8)

które możemy zapisać w nasi

(2.9)

lub

dy

dx ⁼ ~~2A

(2.10)

Niech zależności

dx B—\

d~y ⁼ ~2C

(2.11)    f(x

będą całkami pierwszymi rów Przypadek 1. Jeżeli równ; nowe zmienne £ i t] w następ

(2.12)    ^

gdzie figsą. funkcjami wystę mujemy z wzorów (2.7) A_l = Dla otrzymania postaci kanor

(2.13)    « = /(*,>

Przypadek 2. Jeżeli równi nowe zmienne £ i tj w następ

(2.14)    (

772⁺ 777—n^+ai 57+^1 —+cu + d = 0, ^s dtdrj dg* dd,

(2.6)

dg

² df 'df +B —• -f— + C

(£):

dx dy

B

d²g _nS²g    d² g

te

'te

dg

' dy'

gdzie /jest funkcją występując klasy C² liniowo niezależną o W tym przypadku otrzymuj przyjmuje postać (2.4).

Przypadek 3. Jeżeli równa zmienne <* i tj w następujący

(2.15)    {

gdzie a jest częścią rzeczywistą leżnościach (2.11), tzn. f(x, y) W tym przypadku A, = (

14 — Wybrane działy matematyki...