z4 (3)

13

(5 p.)

Rozwiąż graficznie nierówność

,, JX

x -1

i (O -<

v

(5 p.)

14 Dany jest trójkąt ABC. w którym .4(1, l), AB =[4, 2] oraz środek ciężkości 5(4, 6)

a)    Wyznacz równanie prostej zawierającej bok AB.

b)    Oblicz współrzędne wierzchołka C.

' ' '    ' ⁽⁶P )    __ _

Iloczyn skalarny wektorów AB => AC jest równy polu równoległoboku ABCD, gdzie AB oraz BC są bokami figury. Wyznacz miarę kąta BAC.

16 ''' ^r- '    (7 p)

Udowodnij, że jeżeli punkt P należy do wnętrza czworościanu foremnego to suma jego odległości od ścian tego czworościanu jest stała i równa wysokości bryły.

- : : ' 5    (7 p.) .    •    •

Uczniowie chcą zorganizować loterię fantową. Przygotowali 150 losów, wśród których jest 10 losów wygrywających. Zastanawiają się nad wyborem jednego z dwóch wariantów przeprowadzenia losowania.

Wariant I: kupujący losuje z pojemnika, w którym są wszystkie losy.

Wariant II: losy są umieszczone w trzech pojemnikach:

zielonym - 47 losów pustych i 3 losy wygrywające,

czerwonym - 45 losów pustych i 5 losów wygrywających,

• . ►

czarnym — 48 losów pustych i 2 losy wygrywające.

Kupujący los rzuca kostką. Jeżeli wypadnie szóstka, to losuje z pojemnika czerwonego, jeśli piątka lub czwórka, to z pojemnika zielonego. W pozostałych przypadkach z pojemnika czarnego. Który z wariantów jest bardziej korzystny dla osoby kupującej pierwszy los?

(8 p.)

Niech symbol S_[k)n oznacza sumę &-tych potęg n początkowych liczb naturalnych dodatnich, np.:

= 1 + 2 + 3,

= 1' +2' +3 +4‘.

Wzór na S_[l)n można wyznaczyć w następujący sposób: 2^Z ~l^{1 2} =2-1 + 1 3² -2² =2-2 + 1 4^: -3² =2-3 + 1 n' -{n -1)’ =2(n -1) +1 (tt +1) - n^z ~2n +1.

Dodajemy równości stronami:

(2²-l²)+(3²-2² ) + ... + [n^:~0-l)^:] + [(« + l)^z-n^z ]=2(l +2+3+..., + «-i + w) + «.

"V i\)n

Otrzymujemy:

(n + iy -1=2-5,+n

1

1 )rt

n~ +n

2

i

Wykorzystując odpowiednie wzory skróconego mnożenia oraz zaprezentowaną metodę wyznacz wzór na S_1?Wl.