img058 (27)

63

63

—

tej, jak rów- I :m rozstrzy- 1 nanie to ma nie F{-) jest Weryfikacja \ i nie jest ona 1

wiązań oraz na przykład ; wyrażaj ący-udane w po- |

> rzadko.

Dtna z prak- I do punktów i vspomniano i edur wstęp- i dizowanych :i większość I nej lokaliza- I ironicznych I w złączach I :zach spola- I m celu rów- i tej z punktu i

a (3.62) da- I rwania rów- i na jest to, że 1 g kolejnych f dla iteracji rno przykła- I rozwiązanie, I aphsona nie 1

nań algebra-

da polega na ej w danym w kolejnych wykorzystuje

niem iteracyjną aproksymację liniową. W każdym kolejnym kroku realizacji algorytmu stycznych dane równanie jest linearyzowane a rozwiązanie przybliżone jest otrzymywane jako roz-»'^zanie równania liniowego będącego wynikiem realizacji aproksymacji liniowej.

Niech dany będzie układ n równań algebraicznych postaci

f\(^x\’^x2>-	'o II 5-f
fl(^x 1.^2.'	II O
fni^x

fezie_/}(•): R” 3 x = (x₁,x₂,---,x_n)—> fi(x)e R , / = 1, 2, •••, n, są danymi funkcjami, róż-

rczkowalnymi w sensie istnienia pochodnej mocnej - Frecheta [15], W zapisie wektoro--;^— układ równań (3.76) przyjmuje postać

/(*)= 0,    (3.77)

zzzie    x = R" i /(■) :R"3.r-ł)> = f(x) e R" .

Zbiór punktów x e R” spełniających równanie (3.77) (spełniających układ równań 3 “6>i jest określany jako zbiór pierwiastków tego równania, a w innej terminologii - jako zer: odwzorowania^), dla oznaczenia którego stosuje się w literaturze symbol ker_/(•),

ker/(-)={*eR'’:/(x)=o}.    (3.78)

Metoda iterowanej aproksymacji liniowej prostymi stycznymi do wykresu danej funk--    ■ R 3 x —> R wykorzystywana w algorytmie stycznych posiada bezpośrednie uogól-

arae dla dowolnej funkcji różniczkowalnej /(■): R"ix-> R". Wykresem odwzorowania f . est n-wymiarowa hiperpowierzchnia w przestrzeni R" x R" dana jako zbiór punktów

U U/(*))•    (3-⁷⁹)

.vsR"

Ir danego punktu (jc,y) należącego do wykresu funkcji różniczkowalnej /(■) istnieje jed-■arzrncznie określona hiperpłaszczyzna styczna do wykresu w tym punkcie.

Uogólnienie metody stycznych polega z geometrycznego punktu widzenia na iteracyj-ie aproksymacji «-wymiarowymi hiperpłaszczyznami stycznymi wykresu funkcji /(•) sy srępującej w danym równaniu (3.77), którego rozwiązania należy wyznaczyć. Ciąg ko-a~;-:h przybliżonych wartości pewnego rozwiązania danego równania (3.77) otrzymuje aę. rozwiązując odpowiednie układy równań liniowych opisujące kolejne hiperpłaszczyzny rzae do wykresu funkcji_/(-) w punktach otrzymanych w poprzednich krokach iteracji.

Z analitycznego punktu widzenia aproksymacja liniowa wykresu danej funkcji _/(•) nrerpłaszczyzną styczną do wykresu w danym punkcie jest równoważna rozwinięciu icA:;: fi ) w szereg Taylora w otoczeniu tego punktu do wyrazów do rzędu pierwszego * ocznie. Dane równanie fix) = 0 jest zastępowane równaniem liniowym, które je aprok-f?Tr_je. przy czym aproksymację tę przyjmuje się za wystarczająco dokładną dla wszyst-o± x s R”. Po wyznaczeniu przybliżonej wartości rozwiązania, za którą przyjmuje się