Matem Finansowa4

24 Procent złożony

Zasada oprocentowania złożonego. Kapitalizacja z dołu.

Podstawą obliczania procentu za kolejny n-ty okres bazowy jest wartość kapitału z okresu poprzedniego (suma kapitału początkowego i procentu należnego za (n-1) początkowych okresów). Procent należny za n-ty okres jest równy iloczynowi bazowej stopy procentowej i wartości kapitału z okresu poprzedniego.

Zasada oprocentowania złożonego zawiera założenie o możliwości rein-westowania procentu na identycznych zasadach jak inwestowanie kapitału początkowego.

Przyjmując zasadę oprocentowania złożonego oraz założenie kapitalizacji zgodnej z dołu, wprowadzimy odpowiadające tym założeniom równania matematyczne.

Dla wprowadzanych wzorów przyjmujemy oznaczenia identyczne jak w rozdziale pierwszym:

K₀ - początkowa wartość kapitału (present value), i - bazowa stopa procentowa, n - czas liczony w okresach bazowych,

K_n - przyszła wartość kapitału (futurę value).

Na końcu pierwszego okresu kapitalizacji wartość kapitału początkowego K₀ wynosi:

K₁=K₀+iK₀=K₀a+i).

Na końcu drugiego okresu kapitalizacji mamy:

K₂ =Kj +iKj =K₁(l+i) = K₀(l+i)²,

a na końcu trzeciego okresu

K₃=K₂ + iK₂=K₂(l+i) = K₀(l+i)³.

Prowadząc analogiczne rozumowanie dla kolejnych okresów bazowych, możemy uogólnić wyżej zapisane wzory, otrzymując równania:

^Kn —^Kn-l^+iKn—1

dla n=0,1,2,...

(2.1)