Matem Finansowa0

70 Procent złożony

2.5. Funkcja oprocentowania kapitału

W poprzednich paragrafach przedstawiliśmy wzory opisujące różne sposoby oprocentowania kapitału w czasie (zmiany wartości pieniądza). W tym paragrafie zajmiemy się uogólnieniem tych wzorów.

Na podstawie dotychczasowych rozważań możemy zauważyć, że jednostka zainwestowanego kapitału zmienia swoją wartość w czasie w sposób liniowy k(t)=1+it lub wykładniczy k(t)=(1+i)' , k(t)=(1-d)‘' , k(t)=e^fit. Postawmy więc pytanie: jakimi ogólnymi własnościami powinna charakteryzować się funkcja k(t), opisująca zmianę wartości jednostki kapitału w czasie? Taką funkcję będziemy nazywać funkcją oprocentowania jednostki kapitału.

Funkcję k(t) nazywamy funkcją oprocentowania jednostki kapitału, jeżeli dla te R⁺ spełnia następujące warunki:

1° k(0)=1,

2° k(t) jest funkcją niemalejącą zmiennej te R^ł.

Warunek 1° jest oczywisty, ponieważ opisujemy zmianę wartości jednostki kapitału (K₀=1). Warunek 2° , wynika z przyjętej zasady "produktywności kapitału" oraz zasady kapitalizacji procentu na końcu lub na początku okresu bazowego.

Oczywiście zdarzają się sytuacje gdy, rozpatrywana inwestycja przynosi straty lub nie przynosi zysków. Oznacza to ujemny lub zerowy procent z tej inwestycji, a z matematycznego punktu widzenia malejącą lub stałą funkcję oprocentowania jednostki kapitału. Takimi przypadkami nie będziemy się jednak zajmowali w tym paragrafie.

Przykład 2.22.

Dla funkcji oprocentowania jednostki kapitału

(2.52)

wyznaczyć:

a) wykres funkcji k(t) (wykonać rysunek),