Matem Finansowa4

74 Procent złożony

4° k(t) jest funkcją różniczkowalną dla teR\

W konsekwencji warunku 4° funkcja K(t) jest również różniczkowalna, a własność ta pozwala uogólnić pojęcie intensywności oprocentowania (nominalnej stopy procentowej kapitalizacji ciągłej).

Jeżeli funkcja K(t) jest funkcją oprocentowania kapitału, spełniającą warunki 1° do 4°, to funkcję

8_t= lim ^K(t^!^l)r,^K(t)=|^-    dla te R⁺    (2.54)

¹ iwo K(t)-h K(t)

nazywamy funkcją intensywności oprocentowania.

Jak wiemy, pochodna funkcji K'(t) jest interpretowana jako funkcja wyrażająca chwilową prędkość zmian wartości funkcji K(t). Jeżeli odniesiemy tę prędkość do wartości funkcji K(t), to w konsekwencji otrzymamy funkcję intensywności oprocentowania 8„ czyli względną chwilową prędkość zmian wartości funkcji oprocentowania kapitału.

Wobec powyższego różniczka¹ funkcji K(t) przybiera postać:

dK(t) = K(t)5_tdt    dla te R⁺    (2.55)

Tak więc 8, może być interpretowana jako nominalna stopa procentowa w dostatecznie małym przedziale czasu, 8,dt jako chwilowa efektywna stopa procentowa, a K(t)8, dt jako procent należny za dysponowanie kapitałem K(t) w dostatecznie małym przedziale czasu dt.

Ponieważ funkcja intensywności oprocentowania kapitału 8, jest pochodną logarytmiczną funkcji oprocentowania kapitału K(t), mamy: (por. wzór 2.54)

dln K(t) = 8_tdt    dla te R⁺

co dla te <0,n> przy założeniu

5° funkcja 8, jest całkowalna w sensie Riemanna²

_

1

   W. Dubnicki, J.Kłopotowski, T.Szapiro, op. cit.,s.123

2

   ibid., s.242