stat Pages resize

Metody Monte Carlo 73

Twierdzenie 5.2 (Mocne prawo wielkich liczb). Niech Xo,Xi, X%,..., A'_n będą zmiennymi losowijmi iicl o wartości oczekiwanej fi i skończonej wariancji o². Wtedy

sLo-y. p-.

n+l n-oo

A< •

(5.6)

Metodę powyższą określa się czasami w literaturze jako surowe Monte Carlo (lub proste Monte Carlo, w j. ang. crude Monte Carlo) i można ją uznać za protoplastę pozostałych algorytmów.

Zauważmy, że w tej wersji twierdzenia 5.2 istotną rolę gra skończoność wariancji pojedynczej zmiennej X*. W przypadku symulacji brak spełnienia założenia o skończoności o² może prowadzić do ekstremalnej niestabilności estymatora (5.5), tzn. nieprzewidywalnych zmian jego wartości pomiędzy kolejnymi trajektoriami symulacji.

Obecnie istnieje wiele różnorakich rozwinięć metody crude Monte Carlo, których głównym celem jest minimalizacja wariancji estymatora hf(X). Do estymatora (5.5) można bowiem zastosować Centralne twierdzenie graniczne:

Twierdzenie 5.3 (Centralne twierdzenie graniczne). Niech Xo, Xi,..., X_n będą zmiennymi losowymi iid o wartości oczekiwanej fi i skończonej wariancji cr². Wtedy

sr-o(*«-/o p

(5.7)

N (0; 1) .

W przypadku estymatora (5.5), z (5.7) mamy

* + 1 (hm - E//i(X))    N (0; Var{h,(X))) ,    (5.8)

gdzie wariancję Var(ft/(X)) estymatora (5.5) możemy przybliżać naturalnym wzorem

Var(M*)) = "“7    (M*l) - M*))² ■    (5-9)

⁺    i=0

Ze wzoru (5.8) wynika, iż redukcja wariancji estymatora h/ zwiększa dokładność uzyskiwanych wyników, pozwalając na zmniejszenie niezbędnej liczby losowań n. Prowadzi to oczywiście do skrócenie nieraz bardzo czasochłonnych symulacji.

5.2 Zagadnienie optymalizacji metodą MC

Drugą klasą problemów, które można rozwiązać poprzez zastosowanie metod MC, są zagadnienia optymalizacji, ze szczególnym uwzględnieniem kwestii poszukiwania ekstremów globalnych danej funkcji. Innymi słowy, zainteresowani jesteśmy rozwiązaniem problemu

(5.10)

max h(x)

xex

dla pewnej funkcji h(x) o dziedzinie X C R^p.