Image83 (6)

164

Wprowadzając nową zmienną

164

E

kT

U²,

otrzymujemy całkę typową. Wobec

00

n „ —

x e

0

^ax dx

r

n + 1 2

n+ 1

a > 0, n > — 1,

2a 2

gdzie f(x) jest funkcją Eulera o następujących własnościach

x r(x),

f(x + 1)

mamy

C

r(n) = (n - 1)!

1    3

2    2 n,rr\ 2

(kT)

Stąd rozkład Maxwella-Boltzmanna dla cząstek o trzech stopniach swobody translacji według energii przybiera postać

dn" =

2 n

y/n

3    1 E

2 i?2 „~kT

(kT) ¹ E^z e

dE.

6.4

a. Zakładamy, że energia każdej cząstki jest sumą energii translacji i energii pozostałej

E =

2 m

+ E'

gdzie E' nie zależy od p_x.

Wówczas prawo Maxwella-Boltzmanna przyjmuje postać

2m kT Px

E'

dp_x e ^kT dz^.

-I- dp_x, a o dowolnych ry całkując ten rozkład

gdzie: dz_M = dp_x dz^,.

Liczbę cząstek o wartości p_x zawartej między p_x a p_x wartościach współrzędnych i pozostałych pędów znajduje] po przestrzeni z^.

dri = Cne

Tm kT P_x

dp

^kT dx ,

= Cne

Im kTP*

dp.

Całkując to równanie względem dp_x, otrzymujemy

i

_e~2mkfP

i

g ~ 2m kT

1

(IronkT)^{1 2}^

1

(IjankT)³^

65

a. Równanie Maxwella-Boltzmanna zastosowane do cząstek o jednym stopniu swobody translacji, a więc poruszających się w jednym wymiarze, podaje liczbę cząstek o wartości p_x zawartej między p_x a p_x + dp_x,, a o dowolnych wartościach współrzędnych i pozostałych pędów

n

1

Tm kT P_x

(2nm kT)^1/2

1

2

InmkT