mech2 82

162

Wprowadzimy nową zmienną

1    gz

2    3x

Eozwiązujemy równanie jednorodne

-2

x² * y,

2 ai ⁺ t7yVie y = * ^Bina - w ^ooeaF7Y^Łr

Oznaozmy P/y = a, g sina = ta, ;ig cosa 3 o 1 dy . y ^    _ x

i ii⁺ 5^5 * °' g . -2 _4Ł ,

7    a + X

ln y = -2 ln (a + 1) + lo C,

y = C (a + x)

Uzmlenniamy stałą G

g * -g (a z)'² - 20 (a + *)'^S.

Podstawiamy do równania (x)

1 dC    2

2- fi (a + x) ² - C(a + x) ³ + C(a + x) ³ = b - — ^ ,

J ^dX’

2 ix ^{=    +} x)² ~ ^ox(-^{a +}

2^dC =

(b - o)x² + a(2b - o) + a² b

więo

1 c . Ł-j-t *3 ₊    J ₊ a²bx ♦ 0

^ (b - o)x³ + a(2b - o)x² + 2a²bx

1 ■'

2C.

(a + x)‘

+ -5- .

(a + x)²

C₁ = a² x²/2.

Z warunków początkowyoh wyznaczamy dla t = 0, x = 0 i y = x² = v², więo

-+ |(b - o)x + y(2b + o) - q (2b + o)

Ca + x)^{2    3}    3(a + x)²

Podstawiając teraz C. otrzymamy V(x) a² v²

• 2 ^a o 2 y = x =

p2 ^

, p    *■    ^v f*    p

c s -5- + -~r g (sin a - ,ucosa) x +

(P + Y    ⁰

......w .umililiMll

(2 sina + /icosa) • [1 -(p + _yx} ]■

,i Ifagonit może zatrzymać się, jeżeli drugi wyraz będzie ujemny (pozostałe '* gą zawsze dodatDls)

35&

: stąd

-j- g (sina - ^icosa) < 0, tga< p.

Zadanie 7

Rakieta z zapasem paliwa ma początkową masę o₀. Paliwo spala się ze stałym wydatkiem, tak że dm/dt » -o, przy czym b - obwiłowa maea rakiety. Produkty spalania są wyTzuoone za stalą prędkością v_r względem rakiety. Rakieta ma prędkość pooaątkową Tp. Poraijajao općf powietrza znaleźć prędkość rakiety poruszająoej się pionowo w górę w dowolnej obwili, oraz wysokość na jakiej znajdzie się w obwili *.

Rozwiązanie

Wykorzystamy równanie opisujące ruoh rakiety

_ dv

^2Pi ⁺ H? ^vr *

E P. = E P_ = -mg,

dm

ar = "°

dm = -o dt,

m ■ -ot + C,

t = 0 —*- m = b_c C — n_. m

®o “ ^ofc*

Otrzymamy równanie różniązkowe

Cb₀ - ofc) = -g (n₀ - cfc) + c r₃

dv    ^{u v}r

d¥ = “8 ⁺ b. - ot » o

0 ▼,

dv = -g dt +    -_ofc dt .

O

Całkujemy

v = -gt - v_r ln (b_q - ot) + C₁.