img065 (6)

* 5

METODY ANALITYCZNEGO PRZEDSTAWIANIA SYGNAŁÓW Uogólniony szereg Fouriera (cd)

• dla układów liniowo niezależnych, dla dowolnych a₀,a_l,...,a_n spełniony jest warunek

i=0

z wyjątkiem przypadku gdy a₀ = a_x = a₂ =... = a_n = 0 przykład

dla a₂* 0, £?₃ 9* 0 oraz a₅ * 0 załóżmy, że

a₂w₂(/)+ a₃w₃(f)+ a₅u_s(t) = 0

stąd

“3(0=-—^:“2(0-—^:«s(0

a₃

czyli w₃(r) jest kombinacją liniową w₂(r) oraz u₅(t) zatem nie spełnia warunku niezależności

6

METODY ANALITYCZNEGO PRZEDSTAWIANIA SYGNAŁÓW Uogólniony szereg Fouriera (cd)

• problem:

wyznaczyć współczynniki a, szeregu aproksymującego sygnał x(t), zakładając, że funkcje bazowe «₍(r), względem których dokonano rozwinięcia, tworzą układ funkcji ortogonalnych w przedziale < t_vt₂ >

rozwiązanie:

00

niech    x(t)=^_ja,u,(t)

i=0

obie strony powyższego równania pomnożymy przez dowolny, k-ty element układu funkcji bazowych u_k(t) i obliczymy obustronnie całki w przedziale określoności sygnału

^2    ^2 co    00 h

\x(t)u_k(t)dł =    = £a, Jw/(0“*W*

/, <-0 '=° /,

ze względu na ortogonalność funkcji u,(t) i u_k(t) wszystkie składniki sumy, oprócz przypadku dla / = k wyzerują się