img065 (7)

* 5

METODY ANALITYCZNEGO PRZEDSTAWIANIA SYGNAŁÓW Uogólniony szereg Fouriera (cd)

dla układów liniowo niezależnych, dla dowolnych a_Q,a_v...,a_n spełniony jest warunek

£<w(0*o

/=o

z wyjątkiem przypadku gdy a₀ = a_x = a₂ =... = a_n= 0 przykład

dla a₂ * 0, a₃* 0 oraz a₅ * 0 załóżmy, że

a₂u₂(t)+ 0^11^)+ a₅u_$(t) = 0

stąd

^uA^t)=~—“₂(0-—^;“s(0

^3    <h

czyli u₂(t) jest kombinacją liniową u₂(t) oraz «₅(f) zatem nie spełnia warunku niezależności

6

METODY ANALITYCZNEGO PRZEDSTAWIANIA SYGNAŁÓW Uogólniony szereg Fouriera (cd)

• problem:

wyznaczyć współczynniki a, szeregu aproksymującego sygnał x(r), zakładając, że funkcje bazowe u,(t), względem których dokonano rozwinięcia, tworzą układ funkcji ortogonalnych w przedziale < t_x,t₂ >

rozwiązanie:

oo

niech    x(r) = X ^a,^u,(^t)

1=0

obie strony powyższego równania pomnożymy przez dowolny, £-ty element układu funkcji bazowych u_k(t) i obliczymy obustronnie całki w przedziale określoności sygnału

H    h co    co ^2

]x{t)u_k(t)dt = JX^a,u{t)u_k{t)dt = X-, fU,(t)llk(t)dt

I,    ⁱ⁼⁰    1=0 h

ze względu na ortogonalność funkcji w,(r) i u_k(t) wszystkie składniki sumy, oprócz przypadku dla i = k wyzerują się