img070 (8)

13

METODY ANALITYCZNEGO PRZEDSTAWIANIA SYGNAŁÓW Uogólniony szereg Fouriera (cd)

•    z powyższego wynika również bardzo istotny wniosek, iż każdemu sygnałowi x(t), przy użyciu wybranego układu funkcji ortogonalnych (ortonormalnych) można w sposób jednoznaczny przyporządkować ciąg liczb a₀,a_va₂,...,a_i,...,a_n

•    możliwość przedstawienia sygnałów w postaci uogólnionego szeregu Fouriera ma bardzo istotne znaczenie praktyczne; zamiast badać funkcyjne zależności

w nieprzeliczalnym zbiorze punktów, możemy charakteryzować go przeliczalnym (w ogólnym przypadku nieskończonym) zbiorem współczynników

•    Dla przedstawienia sygnału w postaci uogólnionego szeregu Fouriera można stosować zarówno funkcje elementarne jak i specjalne układy, spełniające warunek ortogonalności w rozmaitych przedziałach. Mogą to być funkcje trygonometryczne, funkcje typu sinx/x , wielomiany Hermite’a, Legendre’a, Czebyszewa, funkcje Bessela, Laguerre’a, Walcha i wiele innych. Do celów analizy wybiera się takie funkcje, które zapewniają najszybszą zbieżność szeregu, tzn. wymagających najmniejszej liczby wyrazów szeregu, przy zadanej dokładności przybliżenia.

14

METODY ANALITYCZNEGO PRZEDSTAWIANIA SYGNAŁÓW Uogólniony szereg Fouriera (cd)

• energia sygnału reprezentowanego uogólnionym szeregiem Fouriera

00

/=0

*2    *2 oO oo    oo oo    ‘2    oo

e_x = J x\t)dt =    =ZZ^a<°/    =Z<NI

/,    t i—O y=0    /=0 7=0    i,    1=0

• jeżeli układ funkcji u_t{t) jest ortonormalny to

|2

= 1

czyli

E_x = ±a?

i=O

energia sygnału jest równa sumie energii wszystkich składowych uogólnionego szeregu Fouriera