img440 (2)

Tak więc o = 1. Dalej mamy

lim	f(x)-ax	= lim	X^2 + 1 --X
X->-oo		X—>—GO	X + 1

-1 + -

-x + 1    ..    ^x -    ,

= lim - = lim -— = 1,

x-»-<» x + 1    ^    1

X

czyli b = -1 • Zatem prosta y = x- 1 jest asymptotą ukośną lewostronną wykresu Badamy teraz istnienie asymptoty ukośnej prawostronnej. Ponieważ

lim i&=1,

x-»+® X

więc o=1. Dalej,

lim f(x) ~ax = -1,

x-»+oo

więc b = -1. Zatem prosta y = x- 1 jest asymptotą ukośną prawostronną wykresu. Ostatecznie otrzymujemy więc, że prosta y = x - 1 jest asymptotą ukośną wykresu funkcji /(x) = *_x + ^ ■

Ad b) D_f- R- {2, -2}. Zacznijmy od asymptoty ukośnej lewostronnej. Ponieważ

lim - Hm

x—X

= lim

m ■ z

3x

= lim

X—>—co

₀ = lim •

X—^—oo —X — C-    X—>-00

3x²    1

Ul-2 x

- = lim

3x

X—CO X

-1-2

x

= -3,

więc o = - 3. Następnie obliczamy

lim

X—>—CO

/(x) -ox

= lim

X-»-oO

3x²

+3x

= lim

X—>—CO

3x²

-x- 2

+3x

= lim

X-»-<»

-6x

-x- 2

więc b = 6. Tak więc prosta y = -3x + 6 jest asymptotą ukośną lewostronną wykresu funkcji.

Przejdźmy teraz do asymptoty prawostronnej. Mamy /(x) _    3x

lim

x-»+co X

lim

x-»+oo X — ź

3, więc o=3.

Teraz zatem lim

X—»+0O

/(x) - ax

= lim

X->+00

3x²

x - 2

—3x

= lim

X-»+oo

f _a ^ 6x

= 6.

Prosta y = 3x + 6 jest więc asymptotą ukośną prawostronną wykresu tej funkcji.

1»4. Clągtość funkcji (l^głoić funkcji w punkcie

Ni łyżniku poniżej są przedstawione wykresy czterech funkcji: /, g, h oraz i. M|i /y|my się, jak zmieniają się wartości tych funkcji dla argumentów z pew-NU¹' oloc/onla punktu x₀ =1.

W przypadku pierwszego, drugiego i trzeciego wykresu w tym punkcie występuje |akby „rozerwanie wykresu". Inaczej jest w przypadku czwartej funkcji. Mówimy, >r ostatnia funkcja jest ciągta w punkcie x₀ = 1, podczas gdy poprzednie trzy funkcje nie są ciągłe w tym punkcie. Zastanówmy się teraz, co decyduje o tym, że funkcja jest ciągła w punkcie. Zbadajmy w tym celu granicę każdej z tych funkcji przy x -> 1. Sprawdźmy, czy ona istnieje, a jeśli tak, to czemu jest równa.