img461 (2)

Z optyki wiemy, że musi być tern w naszym przypadku

1=1 + 1,

skąd    ⁵    " ^y

1 = 1-1

..    y    5 x ’

czyli

1 _ x - 5 y 5x i, ostatecznie,

1

/

- + - , gdzie / jest ogniskową soczewki. Za-

y =

5x

x - 5 ’

Mamy więc

y(x)=

5x

x - 5 ‘

Szybkość zmiany y względem x to oczywiście y'(x). Obliczamy więc, korzystając ze wzoru na pochodną ilorazu:

y'(x) =

5 (x - 5) - 5x • 1 (x ~ 5)²

25

(x - 5)²

Jeżeli teraz x = 55, to szybkość zmiany odległości obrazu będzie równa

^y'⁽55)=-(5Ąs-°'⁰¹'

Znak „minus" we wzorze pochodnej oznacza, że zwiększenie (zmniejszenie) odległości przedmiotu od soczewki powoduje zmniejszenie (zwiększenie) odległości jego obrazu od tej soczewki. Ostatni wynik oznacza zatem, że jeśli ustawimy przedmiot w odległości 55 cm od soczewki, to zwiększenie (zmniejszenie) odległości przedmiotu o każdy centymetr spowoduje zmniejszenie (zwiększenie) odległości obrazu o 0,01 cm.

PRZYKfAD 8.

Wyznaczmy pochodne funkcji:

a)    /(*) =

b)    /(x) =

jx^2	dla x < 0
[-X^3	dla x > 0
-X^2	dla x < 0
'to*	dla x > 0

x³    dla x ś O

c)/(x) =

Vx    dla x > O

Ad a) W przypadku funkcji określonych kilkoma wzorami pochodną obliczamy w następujący sposób: najpierw wyznaczamy pochodną na każdym z przedziałów otwartych, występujących we wzorze tej funkcji. Następnie sprawdzamy różniczkowalność w punktach, w których funkcja zmienia swój wzór.

Ponieważ (x²)' = Zx i (-x³)' = - 3x², więc wiemy już, że:

/'(*)

2x    dla x < 0

-3x²    dla x > O

Należy teraz zbadać różniczkowalność funkcji / w punkcie x₀ = O. Możemy to zrobić dwoma sposobami.

Sposób I

Stwierdzamy najpierw, że funkcja / jest ciągła w punkcie x₀ = 0 (uzasadnij to!). Następnie sprawdzamy, czy istnieją pochodne jednostronne funkcji w tym punkcie:

=a-<-^h2)⁼°;

_tm f<*>+x)-m _{= Xm} o

h-»0    /i->0 h

,.    f(K₀+h) - /fe)    h' - 0    . _A

|_im ——-—= lim_-= lim h = 0

h—>0    l~j    h—>0    l~i    h—>0

Tak więc pochodne prawostronna i lewostronna w tym punkcie istnieją i są sobie równe, co oznacza, że istnieje pochodna naszej funkcji w punkcie x₀ = O i /'(O) = O.

Sposób II

Stwierdzamy również, że funkcja / jest ciągła w punkcie x₀ = O. Następnie sprawdzamy, czy oba wzory występujące w obliczonej dotąd pochodnej są „zgodne" w punkcie x₀ = O. Obliczamy w tym celu:

lim₊/'(x) - lim ₊ (-3x²) = O;

h-*0 ^J v ’    h->0 ^v lim f'(x) = lim (2x) = O.

h->0 ^J V '    ^v

Obie powyższe granice są skończone i równe sobie, funkcja / jest ciągła w punkcie x₀ = O, więc wspólna wartość obu granic jest wartością pochodnej