MATEMATYKA032

56 l Wiadomości wstępu*

,2 3n^J 2 + n\ „    2-i(l + in)

^{6 Pn} n^J ’n^J +5 ’ n’ +3 '    °^P“^_ 2-in

2.    Podać przykład ciągu o wyrazach należących R' i zbieżnego do punktu p₀:

a) Po =(-2,1,0), b) p₀ =(1,-1,2), c) p„ =(0,-3,0).

3.    Podać przykład ciągu o wyrazach zespolonych, którego granicą jest punkt 7^,:

a)z₀ = 2-i, b) Zq = 3, c)Zo = 5i.

4.    Korzystając z definicji Heinego granicy, obliczyć

a) lim

b) lim

x    2x -6

^x-² x‘+2

* » x^: -3x’

c) lim

xy

x² + y²

<x,y)-*(l.-2) _X² - y²

d) lim

5. Wykazać, że podana granica nic istnieje

a) lim cos - ,

x-*0

x² -y²

(x.y)-^o,o) x² +y²

b) lim

Odpowiedzi.

I. o)(0,0), b) (0,1), c)( 1/2,0,-1/2) d)2i. e) (0,3,0), f)k A. a) 1/3. b) 2/3. c)0. d)-3/3.

5 n)Wsk. Obliczyć granicę ciągu (l(x_n)), gdy x„»l/2nx lub x„- l/(2n + l)ji.

b)Wsk Obliczyć granice cii\gu (f(p„)), gdy p_n »(l/n,2/n) lub Pn "(Vn.l/n).

II. CIĄGI I SZEREGI LICZBOWE

1. CIĄGI LICZBOWE.

Określenie ciągu, ciągi monotoniczne. ciągi

OGRANICZONE. Ciągiem nieskończonym nazywamy każdą funkcję f określoną na zbiorze liczb naturalnych. Wartości tej funkcji nazywamy wyrazami ciągu i oznaczamy f(n)sa_Q, neN, a ciąg o wyrazach a_n zapisujemy symbolem

(a_n) lub a,,a₂,a,,....

Ciągi, których wyrazy są liczbami nazywamy ciągami liczbowymi. Dalej będziemy mówić o ciągach nieskończonych o wyrazach rzeczywistych i nazywać je będziemy krótko ciągami.

Wśród tych ciągów wyróżniamy m in. ciągi monotoniczne (tzn. rosnące, malejące, nicmalcjącc, nierosnącc) oraz ciągi ograniczone. Przypomnijmy definicje takich ciągów:

ód

(a_n) jest rosnący O A ^an ^<an+i»

n«N

ód

(a_n) jest malejący o A^an^>ano*

n«N

ód

(a_n) jest niemalejący <=> A^an^^ano>

n«N

ód

(a_n) jest nierosnący O A^a«^^an+i

neN