skan0031 (3)

34 Stany skupienia materii

Przykład 2.7. Zgodnie z równaniem Maxwella-Boltzmanna, ułamek cząsteczek, których szybkość zawarta jest między u a u + du wynosi:

34 Stany skupienia materii

1 dN

N da

= 47nr

M

3/2

2nRT

exp

]_ Ma² 2 RT

Wyprowadzić wzór (2.31) na prędkość średnią. Rozwiązanie. Prędkość średnia c wyniesie:

oo

= J

o

dN

N

= 4n

M

2kRT )

)3/2

exp

o

1 Mu² ~2 RT

da

Podstawiając

,    1 Mu²

x =--,

2 RT

otrzymuje się

c = 471

M

r

2 RT

co

2ttRT    \ M

J x³ exp (~x²)dx.

o

Wartość całki obliczymy metodą całkowania przez części

J udu = uv — J udu,

gdzie:

u = x²; du = 2xdx; du = x exp (-x²)dx\ u = exp (-x²), bądź znajdziemy w tablicach^

co

J x³ exp (-x²) dx = j u

Zatem

c = 4tc

M

2nRT

3/2

/ 2 RT\² 1 jSRT \ MI ' 2~y 7iM '

r    —

Średnia energia kinetyczna gazu idealnego E_k jest wyrażona przez średni kwadrat prędkości

E_k=^Mu¹    (2.33)

W I.M. Ryzyk, T.S. Gradsztejn, Tablice całek, sum, szeregów i iloczynów, PWN, Warszawa 1964, s. 171.