wykład 12 2010

Twierdzenia o

I

Uwaga. .Jeżeli przynajmniej jedna z nierówności w założeniach powyższego twierdzenia jest ostra, to nierówność w tezie także jest ostra (rys. 5.1.3). Analogiczne twierdzenie prawdziwe jest także dla x < x₀.

Niżej podajemy sportową interpretację tego faktu:

jeżeli w chwili początkowej zawodnik G stoi na bieżni dalej niż F oraz, jeżeli w każdym momencie prędkość zawodnika G jest większa niż F, to zawodnik G będzie stale wyprzedzał konkurenta.

Rys. 5.1.3. Ilustracja twierdzenia o nierównościach.

I

i

t

O Ćwiczenie 5.1.16

Korzystając z powyższego faktu uzasadnić nierówności:

x²

a) sin x < z dla każdego x > 0;    b) cosx ^ 1--— dla każdego x £ R\

X³    7T    ²

c*) tgx > x + — dla każdego 0 < x < —;    d*) 1 + 2 ln z Sj x² dla każdego x > 1.

ó    Z

\

i

*

i

a) /(z) = x², g(i

O Ćwiczenie* 5.1,

Teren wokół dwć gładka, tzn. nie r miał prędkość ró prawdziwe, gdy t

5.2 Twie'

• Twierdzenie 5.t

Jeżeli funkcje /

1.    lim f(x) ■

X—*Xq

2.    istnieje gra to

• Twierdzenie* 5.1.17 (Cauchy’tgo)

Jeżeli funkcje / i g spełniają warunki:

1.    są ciągłe na [a, b],

2.    mają pochodne właściwe^ub niewłaściwa na (a, 6),

3.    g'(x) ^ 0 dla każdego x £ (a, 6),

to istnieje punkt c £ (a, b) taki, że

f'(c) ₌ m-f(a)

9'{c)    g(b) - g(a)

Uwaga. Powyżs: dla granic w —o

Interpretacja

Niech r(x) = (g skiej T wychodź siecznych przecb gdy P—>0, p< punktach P, gdj

Interpretacja geometryczna twierdzenia Cauchy'ego*

Niech r(x) = (g(x), f(x)) , gdzie x £ [a, 6], będzie przedstawieniem parametrycznym krzywej T na płaszczyźnie. Wtedy istnieje punkt P £ T, w którym styczna jest równoległa do siecznej łączącej końce A i B tej krzywej (rys. 5.1.4).

Rys. 5.1.4. Ilustracja twierdzenia Cauchy’ego.

Rys. 5.

O Ćwiczenie* 5.1.18

Sprawdzić, czy podane pary funkcji spełniają założenia twierdzenia Cauchy’ego na wskazanych przedziałach:

^JGuillaume Fr

-=D _f G(A-) - \U) -2    [\^.GAŁl\ =) L/vfca ,    , G

¹    — ~ f ć* ) "t*

c),

— Q-

-n =r)

1

/ I