Untitled Scanned 54 (3)

GEOMETRIA ANALITYCZNA 57

352. Definicja. Równanie — + - = 1. gdzie / b&O. nazvwamv równaniem odcinkowym prostej.

<i b

a)    Znajdź punkty przecięcia prostej o równaniu - + — = 1 z osiami układu współrzędnych.

4    5

b)    Znajdź równanie odcinkowe prostej o równaniu ogólnym 2v+ 3v-ń = 0.

c)    Znajdź równanie odcinkowe prostej o równaniu kierunkowym y=2v + 3.

353. Symetralna odcinka jest zbiorem wszystkich punktów jednakowo oddalonych od końców odcinka. Wykorzystując tę własność symetralncj. znajdziemy równanie symetralnej odcinka o końcach A =( 1. 3) i B = (5,9).

•    Symetralna odcinka AB jest zbiorem tych punktów t.v. v), których odległość od punktu A:

- I)' + (y-3)² jest równa odległości od punktu B: ^/(x-5)² + (y -9)'.

• Otrzymujemy zatem równość yj(.\- 1)^: + (y- 3)* = yj(.x-5)^: + ty 9)~.    _#

• Pik!nosząc do kwadratu obie strony tego równania, dostajemy: t.v 1 )² + (y - 3)² = t.v -3)' + (y - 9)\ a stąd otrzymujemy równanie 2x+3y-24=0.

•    Zatem symetralna odcinka AB jest prosta o równaniu 2x + 3v- 24=0.

Postępując w analogiczny sposób, znajdź równanie symetralnej odcinka o końcach K=( 1. -I) i L=(7, I).

354. Uzasadnimy, że zbiór punktów, których współrzędne ( v. y) spełniają równanie + y¹ + 2yv - 9 = 0, jest sumą dwóch prostych.

•    Wyrażenie x² ły^: + 2vy-9 zapiszemy jako różnicę dwóch kwadratów: tx+y)^:- 3^J.

•    Rozkładamy otrzymane wyrażenie na czynniki: (x+y + 3)(x+>'-3).

•    Zatem dane równanie możemy zapisać w postaci (x +y + 3)(.x +y - 3) = 0. a równanie to jest równoważne alternatywie równań: x + y + 3 = 0 lub x+y-3 = 0.

•    Każde z otrzymanych równań jest równaniem ogólnym prostej. Uzasadniliśmy więc. że dane równanie opisuje zbiór, który jest sumą dwóch prostych.

Uzasadnij, że zbiór punktów, których współrzędne (x, y) spełniają dane równanie. jest sumą dwóch prostych a) x² + 4y²=4xx+4;    b) X² -y²-6y-9-0;

c) x² - y² + 10x + 4y + 21=0.

355.

Znajdziemy równania prostych zawierających dwusieczne kątów wyznaczonych przez proste o równaniach 2x + y - 5 = 0 i x - 2y = 0.

• Zauważmy, źe figura będąca sumą prostych zawierających dwusieczne kątów wyznaczonych przez dwie nierównole-głe proste k i / jest zbiorem wszystkich punktów równood-dalonych od prostych k i i (patrz rysunek).

Zatem szukane proste są zbiorem tych punktów ( v, y). których odległość od prostej 2x+y-5 = 0: |2x+ v—5| .

|2.t+ y—5|    U-2y| .

jest równa odległości od prostej x-2v=0:    .

• Otrzymane równanie

jest równoważne alternatywie równań: 2v + y-5 =x- 2y lub

V5 S

2x+y - 5=-.v+2y. Wobec tego szukanymi prostymi są proste o równaniach x+3y-5=0 i 3x-y-5 = 0.

W podobny sposób znajdź równania prostych zawierających dwusieczne kątów wyznaczonych przez proste a) 4x-.y+ 1=0 i x-4y + 4 = 0;    b) x + v-8 = 0 i 7x-y-8 = 0.